\documentclass[a4paper,12pt]{article}
%%\pagestyle{empty}

\usepackage[left=15mm,right=20mm,top=15mm,bottom=22mm]{geometry}
\usepackage{booktabs, multicol}
%%\usepackage{makeidx, graphicx, amsmath, amssymb, amsthm, ae}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm, mathtools}
\usepackage[bosnian]{babel}
%%\usepackage[cp1250]{inputenc}



\usepackage{enumitem,color}

\allowdisplaybreaks

\usepackage{url}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{tkz-tab}
%%\usepackage{tkz-fct}  
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{arrows}





\newcommand{\specialcell}[2][c]{%
  \begin{tabular}[#1]{@{}c@{}}#2\end{tabular}}

\newcommand{\specialcelldva}[3][c]{%
  \begin{tabular}[#1]{@{}c@{}}#2#3\end{tabular}}





\usepackage{pgfplots}

\pgfplotsset{every axis/.append style={
                    axis x line=middle,    % put the x axis in the middle
                    axis y line=middle,    % put the y axis in the middle
                    axis line style={<->,color=blue}, % arrows on the axis
                    xlabel={$x$},          % default put x on x-axis
                    ylabel={$y$},          % default put y on y-axis
            }}


\definecolor{qqwuqq}{rgb}{0,0.39215686274509803,0}

\definecolor{zzttqq}{rgb}{0.6,0.2,0}
\definecolor{uuuuuu}{rgb}{0.26666666666666666,0.26666666666666666,0.26666666666666666}
\definecolor{qqwuqq}{rgb}{0,0.39215686274509803,0}
\definecolor{xdxdff}{rgb}{0.49019607843137253,0.49019607843137253,1}
\definecolor{ffvvqq}{rgb}{1,0.3333333333333333,0}

\DeclareMathOperator{\NN}{\mathbb N}

%%\usepackage{pgfplots} 
%%\pgfplotsset{compat=newest} 



\def\cm{{\mbox{\rm cm}}}
\def\Inn{{\mbox{\rm Inn}}}

\def\Sym{{\mbox{\rm Sym}}}
\def\RotSym{{\mbox{\rm RotSym}}}
\def\lcm{{\mbox{\rm lcm}}}
\def\id{{\mbox{\rm id}}}



%%\def\NN{{\mbox{$\mathbb N$}}}
\def\RR{{\mbox{$\mathbb R$}}}
\def\CC{{\mbox{$\mathbb C$}}}
\def\T{{\mbox{$\mathbb T$}}}
\def\H{{\mbox{$\mathbb H$}}}
\def\ZZ{{\mbox{$\mathbb Z$}}}
\def\Q{{\mbox{$\mathbb Q$}}}
\def\F{{\mbox{$\mathbb F$}}}
\def\C{{\mbox{$\mathbb C$}}}
\def\E{{\mbox{$\mathcal{E}$}}}
\def\M{{\mbox{$\mathcal{M}$}}}
\def\D{{\mbox{$\mathcal{D}$}}}

\def\S{{\mbox{$\mathcal{S}$}}}
\def\L{{\mbox{$\mathcal{L}$}}}
\def\G{{\mbox{$\mathcal{G}$}}}
\def\P{{\mbox{$\mathcal{P}$}}}

\def\B{{\mbox{$\mathcal{B}$}}}
\def\A{{\mbox{$\mathcal{A}$}}}
\def\O{{\mbox{$\mathcal{O}$}}}

\def\X{{\mbox{$\mathcal{X}$}}}
\def\V{{\mbox{$\mathcal{V}$}}}
\def\Y{{\mbox{$\mathcal{Y}$}}}
\def\W{{\mbox{$\mathcal{W}$}}}
\def\dist{{\mbox{\rm dist}}}
\def\GL{{\mbox{\rm GL}}}
\def\SL{{\mbox{\rm SL}}}
\def\d{{\mbox{\rm\,d}}}
\def\NSD{{\mbox{\rm gcd}}}

\def\exc{{\mbox{\rm exc}}}
\def\ecc{{\mbox{\rm ecc}}}
\def\Alt{{\mbox{\rm Alt}}}
\def\Aut{{\mbox{\rm Aut}}}
\def\Hom{{\mbox{\rm Hom}}}
\def\spec{{\mbox{\rm spec}}}
\def\rank{{\mbox{\rm rank}}}
\def\rang{{\mbox{\rm rang}}}
\def\mod{{\mbox{\rm mod}}}
\def\div{{\mbox{\rm div}}}
\def\trag{{\mbox{\rm trag}}}
\def\tr{{\mbox{\rm tr}}}
\def\dim{{\mbox{\rm dim}}}
\def\diag{{\mbox{\rm diag}}}
\def\Mat{{\mbox{\rm Mat}}}
\def\Sim{{\mbox{\rm Sim}}}
\def\ker{{\mbox{\rm ker}}}
\def\im{{\mbox{\rm im}}}
\def\mp{{\mbox{\rm mp}}}
\def\gcd{{\mbox{\rm gcd}}}

\def\K{{\mbox{$\pmb{K}$}}}
\def\J{{\mbox{$\pmb{J}$}}}
\def\I{{\mbox{${\mathcal I}$}}}
\def\j{{\mbox{$\pmb{j}$}}}
\def\0{{\mbox{\boldmath{$0$}}}}
\def\algmult{{\mbox{\rm alg\,mult}}}
\def\geomult{{\mbox{\rm geo\,mult}}}
\def\du{{\mbox{\rm \,d$u$}}}
\def\dv{{\mbox{\rm \,d$v$}}}
\def\dx{{\mbox{\rm \,d$x$}}}
\def\dt{{\mbox{\rm \,d$t$}}}
\def\dy{{\mbox{\rm \,d$y$}}}
\def\dz{{\mbox{\rm \,d$z$}}}
\def\tg{{\mbox{\rm tg\,}}}
\def\arctg{{\mbox{\rm arc\,tg\,}}}
\def\arcsin{{\mbox{\rm arc\,sin\,}}}
\def\ctg{{\mbox{\rm ctg\,}}}

\def\a{{\mbox{\boldmath $a$}}}
\def\q{{\mbox{\boldmath $q$}}}
\def\b{{\mbox{\boldmath $b$}}}
\def\j{\mbox{\boldmath $j$}}
%%\def\u{{\mbox {\boldmath $u$}}}
\def\m{{\mbox {\boldmath $m$}}}
\def\n{{\mbox {\boldmath $n$}}}
\def\vv{{\mbox {\boldmath $v$}}}
\def\w{{\mbox {\boldmath $w$}}}
\def\x{\mbox{\boldmath $x$}}
\def\h{{\mbox {\boldmath $h$}}}
\def\y{\mbox{\boldmath $y$}}
\def\0{\mbox{\boldmath $0$}}
\def\z{\mbox{\boldmath $z$}}
\def\p{\mbox{\boldmath $p$}}
\def\l{\mbox{$\lambda$}}

\def\e{{\mbox{\boldmath $e$}}}
\def\ro{{\mbox{\boldmath $\rho$}}}

\def\ra{\rightarrow}
\def\Ra{\Rightarrow}
\def\Lra{\Leftrightarrow}
\def\Llra{\Longleftrightarrow}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\newcommand{\ol}{\overline}




\newcommand{\konveksna}{\mbox{
\begin{tikzpicture}[scale=.2]
\draw [shift={(-0.1,-3.15)}, line width=1pt]  plot[domain=0.7822235708874424:2.351628311881863,variable=\t]({1*4.454795169253015*cos(\t r)+0*4.454795169253015*sin(\t r)},{0*4.454795169253015*cos(\t r)+1*4.454795169253015*sin(\t r)});
\end{tikzpicture}
}}

\newcommand{\konkavna}{\mbox{
\begin{tikzpicture}[scale=.2]
\draw [shift={(-0.1,-3.15)}, line width=1pt]  plot[domain=0.7822235708874424:2.351628311881863,variable=\t]({-1*4.454795169253015*cos(\t r)-0*4.454795169253015*sin(\t r)},{-0*4.454795169253015*cos(\t r)-1*4.454795169253015*sin(\t r)});
\end{tikzpicture}
}}








\newtheoremstyle{zaFiguru} %name
  {3.4mm}    %Space above, empty = `usual value'
  {3.5mm}    %Space below
  {\rm}   %Body font
  {}     %Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
  {\bf}   %Thm head font
  {}      %Punctuation after thm head
  {2mm}   %Space after thm head: \newline = linebreak
  {\thmname{#1} \thmnumber{\Large #2.}\thmnote{\,(#3)}}       %Thm head spec  

  
  
 

%%\swapnumbers
\theoremstyle{zaFiguru}
\newtheorem{zad}{}


\def\ug{{{\measuredangle}}}
\def\tr{{{\triangle}}}


\setlength{\textheight}{262mm}
\setlength{\textwidth}{180mm}






\begin{document}



\raggedright
\section*{Odvodi}




\begin{zad}
Pokaži, da funkcija $y=c_1e^{2x}+c_2xe^{2x}+e^x$ zadošča diferencijalno enačbo $y''-4y'+4y=e^x$.
\end{zad}





\begin{zad}
Pokažite, da funkcija $y=e^{-x}\sin x$ zadošča diferencijalno enačbo $y''+2y'+2y=0$.
\end{zad}






\begin{zad}
Izračunajte odvod funkcije $y=\ds-\frac{\cos x}{\sin\!^2 x}+\ln\tg\frac{x}{2}$.
\end{zad}






\section*{Enačba tangente na graf funkcije}







\begin{zad}
Poišči enačbo tangente in normale na parabolo $y=4-x^2$ v točki, kjer je $x=-1$.
\end{zad}



\begin{zad}
Poiščite enačbo tangente na graf $y=\arcsin x$ v točki $x=\frac{1}{2}$.
\end{zad}





\begin{zad}
Poišči presečišče tangent na krivuljo $y=\frac{1}{1+x}$ v točkah $x=-3$ in $x=-\frac{1}{2}$.
\end{zad}









\begin{zad}
Dokaži, da je dolžina odseka tangente med obema koordinatnima osema za astroido konstanta! Astroida je podana z enačbo $x^{2/3}+y^{2/3}=\alpha^{2/3}$, kjer je $\alpha$ pozitivno število.
\end{zad}




\begin{zad}
Grafu realne funkcije $f$ s predpisom $f(x) = x^2 + 3x - 1$ poiščite normalo, ki jo seka v točki z absciso $x = 0$.
\end{zad}








\section*{Linearna aproksimacija}




\begin{zad}
Z uporabo diferenciala (linearne aproksimacije) približno izračunaj $\sqrt{1,05}$.
\end{zad}





\begin{zad}
Z uporabo diferenciala približno izračunajte naslednjo vrednost $\ln(0,\!95)$.
\end{zad}




\begin{zad}
Z uporabo diferenciala (linearne aproksimacije) približno izračunaj $\sqrt[3]{8,05}$.
\end{zad}



\begin{zad}
Z uporabo diferenciala (linearne aproksimacije) približno izračunajte $\cos(\frac{2\pi}{9})$.
\end{zad}








\begin{zad}
Z uporabo diferenciala (linearne aproksimacije) približno izračunaj $\sqrt{21}$. Nalogo rešite z obravnavanjem funkcije $f(x)=\sqrt{10x-x^2}$ v točki $x_0=2$.
\end{zad}







\bigskip
\begin{center}
Vse naloge so prenesene z naslednje spletne strani: \url{https://osebje.famnit.upr.si/~penjic/teaching.html}.

{\sc Na isti strani lahko bralec najde vse rešitve podanih nalog.}
\end{center}




\newpage
\section*{Taylorjev polinom}





\begin{zad}
Izpelji Taylorjev polinom $T_2(x)$ (reda $2$) za funkcijo $e^x$ okoli $0$. S pomočjo Taylorjevega polinoma $T_2(x)$ približno izračunaj $e^{0,12}$ in oceni napako $R_2(x)$. %%(spomnimo se $f(x)=T_2(x)+R_2(x)$, $f(x)$ tačna vrednost, $T_2(x)$ približek 2. reda, $R_2(x)$ pripadajoča napaka).
\end{zad}





\begin{zad}
Izpeljite Taylorjev polinom $T_2(x)$ (reda $2$) za funkcijo $\ln x$ okoli $1$. S pomočjo Taylorjevega polinoma $T_2(x)$ približno izračunajte $\ln(0,\!95)$.
\end{zad}




\begin{zad}
Izpeljite Taylorjev polinom $T_2(x)$ (reda $2$) za funkcijo $f(x)=\ds\frac{1}{\sqrt{4+x}}$ okoli $0$. S pomočjo Taylorjevega polinoma $T_2(x)$ približno izračunajte $(4,\!13)^{-\frac{1}{2}}$ ter oceni napako $R_2(x)$.
\end{zad}








\section*{Iskanje ekstremov}





\begin{zad}
Poiščite globalni maksimum in globalni minimum funkcije $f(x)=10x\,(2-\ln x)$ na intervalu $[1,e^2]$.
\end{zad}





\begin{zad}
Določite in klasificirajte lokalne ekstreme funkcije
$$
g(x)=\frac{(2x-1)^3}{(x+2)^2}.
$$
\end{zad}








\begin{zad}
Dana je funkcija $f(x)=\ds\frac{x}{x^2+ax+b}$. Določi konstanti $a$ in $b$ tako, da bo $T(2,\frac{1}{7})$ lokalni ekstrem.
\end{zad}








\begin{zad}
Določite definicijsko območje, znak ter lokalne ekstreme funkcije
$\displaystyle{
y=\ln\frac{x}{x^2-1}
}$.
\end{zad}








\begin{zad}
Naj bo $p$ premica, ki vsebuje točko $P(6; 3)$ v $xy$-ravnini. Obravnavajte pravokoten trikotnik, ki ga formirajo premica $p$, pozitivni del $x$-ose in pozitivni del $y$-ose ter poiščite najmanjšo možno ploščino danega pravokotnega trikotnika. 

{\it (Namig: Opazite, da rešitev naloge ni premica $p$, ki poteka skozi $(0;0)$, ker v tem primeru dana premica ne seka pozitivnega dela $x$-ose (oz. pozitivnega dela $y$-ose)).}
\end{zad}













\bigskip
\begin{center}
Vse naloge so prenesene z naslednje spletne strani: \url{https://osebje.famnit.upr.si/~penjic/teaching.html}.

{\sc Na isti strani lahko bralec najde vse rešitve podanih nalog.}
\end{center}




\newpage
\section*{L'Hospitalovo pravilo}






\begin{zad}
Z L'Hospitalovim pravilom izračunajte naslednjo limito
$$
\ds\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos ax}{1-\cos bx}.
$$
\end{zad}




\begin{zad}
Izračunaj
$$
\ds\lim_{x\downarrow 1}\left(
\ds \frac{1}{x-1}-\frac{1}{\ln x}
\right).
$$
\end{zad}




\begin{zad}
Izračunajte
$$
\lim_{x\to 0}\frac{x^2+e^{x^3}-1}{\ln(1+x)-\sin x}.
$$
\end{zad}







\begin{zad}
Izračunaj 
$$
\lim_{n\to\infty} 4^n\cdot (1-\cos\frac{\theta}{2^n}).
$$
\end{zad}








\section*{Konveksnost in konkavnost funkcije}






\begin{zad}
Določite definicijsko območje funkcije $y=xe^{\frac{1}{x}}$, predznak funkcije ter poiščite intervale konveksnosti in konkavnosti.
\end{zad}





\begin{zad}
Dana je funkcija $f(x)=x\ds e^{\frac{1}{x-2}}$. Določite definicijsko območje, predznak funkcije, lokalne ekstreme ter poiščite intervale konveksnosti in konkavnosti. Razložite geometrični pomen naslednje limite
$$
\lim_{x \downarrow 2} f(x),
$$
ter je izračunjte.
\end{zad}









\begin{zad}
Poiščite intervale, kjer je funkcija
$
f(x)=\ds\frac{x^2+1}{(x-1)^2}
$
strogo naraščajoča, ter poiščite intervale konveksnosti in konkavnosti. Razložite geometrični pomen naslednjih limit
$$
\lim_{x\to\infty} f(x),\qquad
\lim_{x\to-\infty} f(x),\qquad
\lim_{x\uparrow 1} f(x),\qquad
\lim_{x\downarrow 1} f(x),
$$
ter jih izračunjte.
\end{zad}








\bigskip
\begin{center}
Vse naloge so prenesene z naslednje spletne strani: \url{https://osebje.famnit.upr.si/~penjic/teaching.html}.

{\sc Na isti strani lahko bralec najde vse rešitve podanih nalog.}
\end{center}




\newpage
\section*{Skiciranje grafa funkcije}







\begin{zad}
Natančno nariši graf funkcije 
$$
f(x)=\ds\frac{x}{x-3}
$$
(določi definicijsko območje, ničle, limite na robu definicijskega območja, asimptote, intervale naraščanja oz. padanja, lokalne ekstreme, intervale konveksnosti in konkavnosti ter prevoje).
\end{zad}






\begin{zad}
Natančno nariši graf funkcije 
$$
f(x)=\ds\frac{3x}{1+x^3}
$$
(določi definicijsko območje, ničle, limite na robu definicijskega območja, asimptote, intervale naraščanja oz. padanja, lokalne ekstreme, intervale konveksnosti in konkavnosti ter prevoje).
\end{zad}







\begin{zad}
Natančno narišite graf funkcije
$$
f(x)=\ds\frac{x-2}{x^2-3}
$$
(Določite definicijsko območje, ničle, predznak funkcije, limite na robu definicijskega območja, asimptote, intervale naraščanja oz. padanja, lokalne ekstreme, intervale konveksnosti in konkavnosti ter prevoje, če obstajajo).
\end{zad}







\begin{zad}
Natančno nariši graf funkcije 
$$
f(x)=\ds\frac{x^2-6x+3}{x-3}
$$
(določi definicijsko območje, ničle, limite na robu definicijskega območja, asimptote, intervale naraščanja oz. padanja, lokalne ekstreme, intervale konveksnosti in konkavnosti ter prevoje).
\end{zad}







\begin{zad}
Natančno nariši graf funkcije 
$$
y=\frac{1}{x^2}\ln x
$$
(določi definicijsko območje, ničle, limite na robu definicijskega območja, asimptote, intervale naraščanja oz. padanja, lokalne ekstreme, intervale konveksnosti in konkavnosti ter prevoje).
\end{zad}







\begin{zad}
Natančno nariši graf funkcije 
$$
y=\frac{1}{x-3}\ln x
$$
(določi definicijsko območje, ničle, limite na robu definicijskega območja, asimptote, intervale naraščanja oz. padanja, lokalne ekstreme, intervale konveksnosti in konkavnosti ter prevoje).
\end{zad}








\begin{zad}
Natančno nariši graf funkcije 
$$
f(x)=\ds\frac{e^x-e^{-x}}{e^x}
$$
(določi definicijsko območje, ničle, limite na robu definicijskega območja, asimptote, intervale naraščanja oz. padanja, lokalne ekstreme, intervale konveksnosti in konkavnosti ter prevoje).
\end{zad}








\begin{zad}
Natančno nariši graf funkcije 
$$
y=x^3e^{-\frac{x^2}{6}}
$$
(določi definicijsko območje, ničle, limite na robu definicijskega območja, asimptote, intervale naraščanja oz. padanja, lokalne ekstreme, intervale konveksnosti in konkavnosti ter prevoje).
\end{zad}












\bigskip
\begin{center}
Vse naloge so prenesene z naslednje spletne strani: \url{https://osebje.famnit.upr.si/~penjic/teaching.html}.

{\sc Na isti strani lahko bralec najde vse rešitve podanih nalog.}
\end{center}








\newpage
\section*{Metoda integriranja s uvedbo nove spremenjivke}




\begin{zad}
Izračunajte naslednji integral
$$
\int \frac{\sin x\dx }{\sqrt{1+2\cos x}}.
$$
\end{zad}






\begin{zad}
Izračunajte $\ds\int\tg\varphi\,\d\varphi$.
\end{zad}



\begin{zad}
Izračunajte $\ds\int\sin x\,\cos^3\!x\,\dx$, in preverite rezultat diferenciranjem.
\end{zad}









\section*{Metoda integriranja z integracijo po delih}



\begin{zad}
Izračunajte naslednji integral $\ds\int x\,(\ln x)^2\, dx$.
\end{zad}




\begin{zad}
Izračunajte naslednji integral $\ds\int (3x+4)\,\sin(2x)\dx$.
\end{zad}











\section*{Integracija racionalnih funkcij}



\begin{zad}
Določiti $\ds\int\ds\frac{\dx}{x^3+x}$.
\end{zad}





\begin{zad}
Izračunajte $\ds\int_{0}^{1} \frac{x^4}{x^2+1}\dx$.
\end{zad}




\begin{zad}
Določite $\ds\int\frac{x^2-x+1}{x^3+x}\dx$.
\end{zad}











\bigskip
\begin{center}
Vse naloge so prenesene z naslednje spletne strani: \url{https://osebje.famnit.upr.si/~penjic/teaching.html}.

{\sc Na isti strani lahko bralec najde vse rešitve podanih nalog.}
\end{center}




\newpage
\section*{Pojem določenega integrala}






\begin{zad}
Izračunati ploščino omejenega območja, ki ga omejujejo krivulja $y=x^2-5x+6$ in obe koordinatni osi.
\end{zad}






\begin{zad}
Izračunjte $\ds\int_{-1}^2 |x^2-1|\,dx$ in razložite geometrijski pomen.
\end{zad}




\begin{zad}
Izračunajte $\ds\int_{-2}^1 |x^2-x| \dx$ in razložite geometriski pomen.
\end{zad}





\begin{zad}
Izračunjte $\ds\int_{-1}^2 |x^3-x|\dx$ in razložite goemetrijski pomen.
\end{zad}





\begin{zad}
Izračunajte naslednji določeni integral $\ds\int_0^2 \frac{e^x}{e^{2x}+1}\dx$.
\end{zad}









\section*{Integral kot funkcija zgornje meje}



\begin{zad}
Poiščite tisti nedoločeni integral funkcije $f(t)=\ctg t$, ki ima pri $t=\frac{\pi}{4}$ vrednost $0$.
\end{zad}








\section*{Ploščine območij}


\begin{zad}
Lik $L$ omejujejo premici $x=1$, $x=e^2$, funkcija $y=\ds\frac{\ln x}{x^2}$ in abscisna os (osa $x$). Izračunajte ploščino lika $L$.
\end{zad}





\begin{zad}
Izračunajte ploščino zaprtega območja omejenega s krivuljama $y = x^2 + 4x$ in $y = x + 4$.
\end{zad}





\begin{zad}
Izračunajte ploščino lika, ki ga omejujeta parabola $4y=8x-x^2$ in premica $4y=x+6$.
\end{zad}











\bigskip
\begin{center}
Vse naloge so prenesene z naslednje spletne strani: \url{https://osebje.famnit.upr.si/~penjic/teaching.html}.

{\sc Na isti strani lahko bralec najde vse rešitve podanih nalog.}
\end{center}




\newpage
\section*{Prostornina rotacijskih teles}





\begin{zad}
Izračunati volumen vrtenine, ki jo dobimo, če graf funkcije $f(x) = x+\sin x$ zavrtimo okoli osi $x$ na intervalu $[0,\pi]$.
\end{zad}







\begin{zad}
Lik $L$ omejujejo premici $x=0$, $y=5$ in parabola $y=x^2+1$. Izračunaj prostornino telesa, ki ga dobimo z vrtenjem lika $L$ okrog ordinatne osi ($y$-osi).
\end{zad}





\begin{zad}
Izračunajte prostornino rotacijskega telesa, ki ga dobimo, če se lik, omejen s krivuljami $xy = 4$, $x = 4$, $x = 1$, $y = 0$, zavrti okrog osi $x$.
\end{zad}



\begin{zad}
Izračunajte prostornino vrtenine, ki jo dobimo, če omejen lik med grafoma funkcij $f(x) = x^2 + 2x + 2$ in $g(x)=x+4$ zarotiramo okoli $x$ osi.
\end{zad}








\section*{Dolžina loka krivulje}




\begin{zad}
Izračunaj dolžino grafa funkcije $y = \ln(\frac{1}{\cos x})$ nad intervalom $[0,\frac{\pi}{4}]$.
\end{zad}





\begin{zad}
Izračunajte dolžino loka krivulje $f(x)=\ds\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ na intervalu $[0,1]$.
\end{zad}





\begin{zad}
Izračunaj dolžino krivulje podane s predpisom $y^2=(x-1)^3$, med točkama $A(2;-1)$ in $B(5;-8)$.
\end{zad}











\section*{Površina rotacijskih teles}





\begin{zad}
Naj bo $C$ tisti del grafa funkcije $y = x^3$, ki leži med premicami $x=-\frac{2}{3}$ in $x=\frac{2}{3}$. Izračunajte površino vrtenine, ki jo dobimo tako, da krivuljo $C$ zavrtimo okrog absicsne osi (osi $Ox$).
\end{zad}





\begin{zad}
Izračunaj površino vrtenine, ki jo dobimo tako, da graf funkcije $y = \sin x$ zavrtimo okrog absicsne osi med dvema zaporednima ničlama.
\end{zad}







\bigskip
\begin{center}
Vse naloge so prenesene z naslednje spletne strani: \url{https://osebje.famnit.upr.si/~penjic/teaching.html}.

{\sc Na isti strani lahko bralec najde vse rešitve podanih nalog.}
\end{center}




\newpage
\section*{Nepravi integrali}




\begin{zad}
Določite deficijsko območje funkcije $f(x)=\ds\frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)^2}}$. Potem pa izračunajte naslednji integral, in razložite geometriski pomen
$$
\int_{-1}^{2} \underbrace{\frac{\dx}{\sqrt[3]{(x-1)^2}}}_{=f(x)}.
$$
\end{zad}








\section*{Zaporedje funkcij. Enakomerna konvergenca.}


\begin{zad}
Zaporedje funkcij $(f_n)_{n\in{\mathbb N}}$ je podano s predpisom
$$
f_n:[0,1]\rightarrow\RR,\qquad f_n(x)=2x+\frac{x}{n}.
$$
\begin{enumerate}[label=\rm(\alph*)]
\item Določite limitno funkcijo $f(x)=\ds\lim_{n\to\infty} f_n(x)$.
\item Ali je limitna funkcija $f(x)$ zvezna na $[0,1]$? Odgovor podrobno obrazložiti!
\item Preverite, ali je $(\ds\lim_{n\to\infty} f_n(x))'=\ds\lim_{n\to\infty} f'_n(x)$ za vse $x\in[0,1]$.
\item Preverite, ali je $\ds\int_0^1 \ds\lim_{n\to\infty} f_n(x)\dx=\ds\lim_{n\to\infty} \int_0^1 f_n(x)\dx$.
\end{enumerate}
\end{zad}






\begin{zad}
Dano je zaporedje funkcij $f_n : [0,\infty)\ra\RR$ s predpisi $f_n(x) = \ds\frac{nx}{1+nx}$. Določi limitno funkcijo in ugotovi, ali zaporedje konvergira enakomerno na $[a,\infty)$, kjer je $a>0$. Ali zaporedje konvergira enakomerno na $[0,\infty)$?
\end{zad}




\begin{zad}
Zaporedje funkcij $(f_n)_{n\in{\mathbb N}}$ je podano s predpisom
$$
f_n:[0,1]\rightarrow\RR,\qquad f_n(x)=\frac{1}{2}x^n.
$$
\begin{enumerate}[label=\rm(\alph*)]
\item Proti kateri funkciji konvergira funkcijsko zaporedje $(f_n)_{n\in{\mathbb N}}$ na $[0,1]$?
\item Ali je konvergenca iz (a) enakomerna?
\end{enumerate}
\end{zad}






\bigskip
\begin{center}
Vse naloge so prenesene z naslednje spletne strani: \url{https://osebje.famnit.upr.si/~penjic/teaching.html}.

{\sc Na isti strani lahko bralec najde vse rešitve podanih nalog.}
\end{center}




\newpage
\section*{Posplošeni (nepravi/izlimitirani) integrali}




\begin{zad}
Izračunajte naslednji integral (v primeru, da konvergira)
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{|x|}{1+x}\dx.
$$
\end{zad}






\begin{zad}
Preverite, ali izlimitirani integral $\ds\int_{-\infty}^0 \ds\frac{e^{1/x}}{x^2}\dx$ konvergira. Če konvergira, ga izračunajte.
\end{zad}











\section*{Integralski kriterij}






\begin{zad}
S pomočjo integralskega kriterija ugotovi, ali konvergira številska vrsta
$$
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2n}{n^2+1}.
$$
\end{zad}





\begin{zad}
S pomočjo integralskega kriterija ugotovi, ali konvergira številska vrsta
$$
\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\, \ln n}.
$$
\end{zad}






\begin{zad}
S pomočjo integralskega kriterija ugotovi, ali konvergira številska vrsta
$$
\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n}.
$$
\end{zad}






\begin{zad}
S pomočjo integralskega kriterija ugotovi, ali konvergira številska vrsta
$$
\sum_{n=1}^\infty \arcsin\frac{1}{\sqrt{n}}.
$$
\end{zad}





\bigskip
\begin{center}
Vse naloge so prenesene z naslednje spletne strani: \url{https://osebje.famnit.upr.si/~penjic/teaching.html}.

{\sc Na isti strani lahko bralec najde vse rešitve podanih nalog.}
\end{center}




\end{document}
