\documentclass[a4paper,12pt]{article}
%%\pagestyle{empty}

\usepackage[left=15mm,right=20mm,top=15mm,bottom=22mm]{geometry}
\usepackage{booktabs, multicol}
\usepackage{makeidx, graphicx, amsmath, amssymb, amsthm, ae}
\usepackage[bosnian]{babel}
%%\usepackage[cp1250]{inputenc}


\usepackage{mathtools}
\usepackage{enumitem}

\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{tkz-tab} 
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{arrows}

\usepackage{pgfplots} 
\pgfplotsset{compat=newest} 



\usepackage{array}

\newcolumntype{M}[1]{>{\centering\arraybackslash}m{#1}}
\newcolumntype{N}{@{}m{0pt}@{}}


\def\cm{{\mbox{\rm cm}}}
\def\Inn{{\mbox{\rm Inn}}}

\def\Sym{{\mbox{\rm Sym}}}
\def\RotSym{{\mbox{\rm RotSym}}}
\def\lcm{{\mbox{\rm lcm}}}
\def\id{{\mbox{\rm id}}}

\def\arc{{\mbox{\rm arc}}}

\DeclareMathOperator{\NN}{\mathbb N}


%%\def\NN{{\mbox{$\mathbb N$}}}
\def\RR{{\mbox{$\mathbb R$}}}
\def\CC{{\mbox{$\mathbb C$}}}
\def\T{{\mbox{$\mathbb T$}}}
\def\H{{\mbox{$\mathbb H$}}}
\def\ZZ{{\mbox{$\mathbb Z$}}}
\def\Q{{\mbox{$\mathbb Q$}}}
\def\F{{\mbox{$\mathbb F$}}}
\def\C{{\mbox{$\mathbb C$}}}
\def\E{{\mbox{$\mathcal{E}$}}}
\def\M{{\mbox{$\mathcal{M}$}}}

\def\S{{\mbox{$\mathcal{S}$}}}
\def\L{{\mbox{$\mathcal{L}$}}}
\def\G{{\mbox{$\mathcal{G}$}}}
\def\P{{\mbox{$\mathcal{P}$}}}
\def\D{{\mbox{$\mathcal{D}$}}}

\def\B{{\mbox{$\mathcal{B}$}}}
\def\A{{\mbox{$\mathcal{A}$}}}
\def\O{{\mbox{$\mathcal{O}$}}}

\def\X{{\mbox{$\mathcal{X}$}}}
\def\V{{\mbox{$\mathcal{V}$}}}
\def\Y{{\mbox{$\mathcal{Y}$}}}
\def\W{{\mbox{$\mathcal{W}$}}}
\def\dist{{\mbox{\rm dist}}}
\def\GL{{\mbox{\rm GL}}}
\def\SL{{\mbox{\rm SL}}}
\def\NSD{{\mbox{\rm gcd}}}

\def\exc{{\mbox{\rm exc}}}
\def\ecc{{\mbox{\rm ecc}}}
\def\Alt{{\mbox{\rm Alt}}}
\def\Aut{{\mbox{\rm Aut}}}
\def\Hom{{\mbox{\rm Hom}}}
\def\spec{{\mbox{\rm spec}}}
\def\rank{{\mbox{\rm rank}}}
\def\rang{{\mbox{\rm rang}}}
\def\mod{{\mbox{\rm mod}}}
\def\div{{\mbox{\rm div}}}
\def\trag{{\mbox{\rm trag}}}
\def\tr{{\mbox{\rm tr}}}
\def\dim{{\mbox{\rm dim}}}
\def\diag{{\mbox{\rm diag}}}
\def\Mat{{\mbox{\rm Mat}}}
\def\Sim{{\mbox{\rm Sim}}}
\def\ker{{\mbox{\rm ker}}}
\def\im{{\mbox{\rm im}}}
\def\mp{{\mbox{\rm mp}}}
\def\gcd{{\mbox{\rm gcd}}}

\def\K{{\mbox{$\pmb{K}$}}}
\def\J{{\mbox{$\pmb{J}$}}}
\def\I{{\mbox{$\pmb{I}$}}}
\def\j{{\mbox{$\pmb{j}$}}}
\def\0{{\mbox{\boldmath{$0$}}}}
\def\algmult{{\mbox{\rm alg\,mult}}}
\def\geomult{{\mbox{\rm geo\,mult}}}
\def\du{{\mbox{\rm \,d$u$}}}
\def\dx{{\mbox{\rm \,d$x$}}}
\def\dt{{\mbox{\rm \,d$t$}}}
\def\dy{{\mbox{\rm \,d$y$}}}
\def\dz{{\mbox{\rm \,d$z$}}}
\def\tg{{\mbox{\rm tg\,}}}
\def\arctg{{\mbox{\rm arc\,tg\,}}}
\def\arcsin{{\mbox{\rm arc\,sin\,}}}
\def\ctg{{\mbox{\rm ctg\,}}}

\def\a{{\mbox{\boldmath $a$}}}
\def\q{{\mbox{\boldmath $q$}}}
\def\b{{\mbox{\boldmath $b$}}}
\def\j{\mbox{\boldmath $j$}}
%%\def\u{{\mbox {\boldmath $u$}}}
\def\m{{\mbox {\boldmath $m$}}}
\def\n{{\mbox {\boldmath $n$}}}
\def\vv{{\mbox {\boldmath $v$}}}
\def\w{{\mbox {\boldmath $w$}}}
\def\x{\mbox{\boldmath $x$}}
\def\h{{\mbox {\boldmath $h$}}}
\def\y{\mbox{\boldmath $y$}}
\def\0{\mbox{\boldmath $0$}}
\def\z{\mbox{\boldmath $z$}}
\def\p{\mbox{\boldmath $p$}}
\def\l{\mbox{$\lambda$}}

\def\e{{\mbox{\boldmath $e$}}}
\def\ro{{\mbox{\boldmath $\rho$}}}

\def\ra{\rightarrow}
\def\Ra{\Rightarrow}
\def\LRa{\Longrightarrow}
\def\Lra{\Leftrightarrow}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\newcommand{\ol}{\overline}








\newtheoremstyle{zaFiguru} %name
  {3.4mm}    %Space above, empty = `usual value'
  {3.5mm}    %Space below
  {\rm}   %Body font
  {}     %Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
  {\bf}   %Thm head font
  {}      %Punctuation after thm head
  {2mm}   %Space after thm head: \newline = linebreak
  {\thmname{#1} \thmnumber{\Large #2.}\thmnote{\,(#3)}}       %Thm head spec  

  
  
 

%%\swapnumbers
\theoremstyle{zaFiguru}
\newtheorem{zad}{}


\def\ug{{{\measuredangle}}}
\def\tr{{{\triangle}}}


\setlength{\textheight}{262mm}
\setlength{\textwidth}{180mm}



\begin{document}
\allowdisplaybreaks


\raggedright
\section*{Množice in relacije}




\begin{zad}
Naj bodo $A = \{1, 2, 5, 6, 7, 10, 11, 12\}$, $B = \{x \mid x \mbox{ je liho celo število in } 3\le x\le 10\}$ in $C = \{a, b, c, 4, 5, 6\}$.
\begin{enumerate}[label=\rm(\alph*)]
\item Izpolnite prazna mesta $\,\_\!\_\!\_\,$ z najprimernejšim simbolom $(\in,\notin,\subseteq,\not\subseteq)$:\newline
$7\,\_\!\_\!\_\,A$, $6\,\_\!\_\!\_\,B$, $10\,\_\!\_\!\_\,B$, $4\,\_\!\_\!\_\,A$, $b\,\_\!\_\!\_\,C$, $b\,\_\!\_\!\_\,B$, $\{2, 5, 12\}\,\_\!\_\!\_\,A$, $\{3, 5, 6\}\,\_\!\_\!\_\,B$, $\{a, b, 5\}\,\_\!\_\!\_\,C$.
\item Izračunajte $A\cup B$, $A\setminus B$, $\P(A\cap B)$, $(A\cap B) \times \{a, b\}$.
\end{enumerate}
\end{zad}






\begin{zad} 
\begin{enumerate}[label=\rm(\alph*)]
\item Naj bosta $A$ in $B$ dani množici. Pokažite, da je $A\cap (B\slash A)=\emptyset$. Razložite vsak korak svojega dokaza.
\item Naj bosta $A$ in $B$ dani podmnožici univerzalne množice $U$. Pokažite, da je $A\subseteq B$, če in samo če $\ol{B}\subseteq\ol{A}$. Razložite vsak korak svojega dokaza.
\end{enumerate}
\end{zad}







\begin{zad}
Utemeljite, ali za poljubne množice $A$, $B$ in $C$ velja trditev
$$
(A\cup B)\cap(A\cup C)\subseteq \ol{A}\cup C.
$$
Razložite vsak korak svojega dokaza.
\end{zad}





\begin{zad}
Naj bo $A$ neprazna množica. Ugotovite, katere od množic $$\emptyset,\{\emptyset\}, A, \{A\}, \{A,\emptyset\}$$ so elementi in katere podmnožice množic $\mathcal{P}(A)$ in $\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))$.
\end{zad}







\begin{zad}
Utemeljite, ali je naslednja izjava resnična ali neresnična: 

\begin{enumerate}[label=\rm~]
\item Če za množici $X$ in $Y$ velja $\P(X)=\P(Y)$, potem sta množici $X$ in $Y$ enaki.
\end{enumerate}
\end{zad}








\begin{zad}
V potenčno množico $\P(M)$ množice $M = \{1, 2\}$ vpeljemo relacijo $R$ s predpisom
$$
ARB \qquad \Longleftrightarrow \qquad
A\cup\{1\}=B\cup\{2\}.
$$
Napišite vse urejene pare v $R$.
\end{zad}




\begin{zad}
Na množici realnih števil $\RR$ definiramo relacijo $\sim$:
$$
a\sim b\qquad\Lra\qquad a-b\in\ZZ.
$$
Utemeljite, ali je $\sim$ ekvivalenčna relacija. Če je $\sim$ ekvivalenčna relacija, poiščite ekvivalenčna razreda $[\frac{1}{2}]_\sim$ in $[\sqrt{2}]_\sim$.
\end{zad}








\section*{Popolna matematična indukcija}



\begin{zad}
Pokažite, da je število $3^{7^{999}}-1$ deljivo z $2$. Nalogo rešite z uporabo matematične indukcije.
\end{zad}



\begin{zad}
Doka\v zite, da za vsako naravno \v stevilo $n > 1$ velja enakost
$$
\left(1 - \frac{1}{4}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{9}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{16}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 - \frac{1}{n^2}\right) = \frac{n + 1}{2n}.
$$
\end{zad}




\begin{zad}
Pokažite, da je vsota $1 + 3 + 5 + 7 + \cdots + (2\cdot 7^{7}-1)$ deljiva s $7^{7}$. Nalogo rešite z uporabo matematične indukcije.
\end{zad}



\begin{zad}
Pokaži, da je število $37^{500}-37^{100}$ deljivo z $10$. 
\end{zad}







\section*{Funkcije}



\begin{zad}
Predpostavimo, da ima množica $A$ natanko dva elementa, množica $B$ pa natanko tri elemente.
\begin{enumerate}[label=\rm(\alph*)]
\item Podaj primer funkcije $f:A\ra B$. Podaj definicijo inverzne funkcije. Za dani primer, če obstaja, poišči inverzno funkcijo $f^{-1}$, ali razloži, zakaj funkcija $f^{-1}:B\ra A$ ne obstaja.
\item Podaj primer funkcije $g:B\ra A$. Za dani primer, če obstaja, poišči inverzno funkcijo $g^{-1}$, ali razloži, zakaj funkcija $g^{-1}:A\ra B$ ne obstaja.
\item Koliko funkcij obstaja, ki slikajo iz $A$ v $B$? Koliko od njih je surjektivnih? Koliko od njih je injektivnih preslikav? Koliko od njih je bijektivnih preslikav?
\end{enumerate}
\end{zad}







\begin{zad}
Naj bo $\RR$ množica realnih števil in naj bo $f:\RR\ra\RR$ dana funkcija,  definirana s predpisom
$$
f(x)=5x+12.
$$
Obravnavajte injektivnost, surjektivnost in določite $f^{-1}(x)$.
\end{zad}







\begin{zad}
Funkcijo $f : \ZZ\ra \ZZ$ definiramo s predpisom
$$
f(x)=x^2.
$$
Obravnavajte injektivnost, surjektivnost in bijektivnost funkcije $f$.
\end{zad}






\begin{zad}
Poiščite primer:
\begin{enumerate}[label=\rm(\alph*)]
\item Injektivne funkcije $f\colon\NN\ra\NN$, ki ni surjektivna.
\item Funkcije $f\colon\NN\ra\NN$, ki je surjektivna, vendar ni injektivna.
\end{enumerate}
\end{zad}










\section*{Absolutna vrednost}





\begin{zad}
Reši naslednjo neenačbo
$$
\frac{|x+1|}{- x^2 - 2x + 15}>0.
$$
\end{zad}






\begin{zad}
Rešiti naslednjo neenačbo
$$
x^2-14<|x+2|.
$$
\end{zad}







\begin{zad}
Reši naslednjo neenačbo
$$
\left|\frac{x+2}{x-1}
\right|>2.
$$
\end{zad}







\begin{zad}
V množici realnih števil $\RR$ rešite neenačbo
$$
\sqrt{x^2-1}\le \sqrt{|x-1|}.
$$
Rešitev zapišite s pomočjo intervalov.
\end{zad}




\begin{zad}
V množici realnih števil $\RR$ rešite neenačbo
$$
\sqrt{x^2-2x-1}\le \sqrt{|x-1|}
$$
Rešitev zapišite s pomočjo intervalov.
\end{zad}













\section*{Kompozitum funkcij}








\begin{zad}
Dana sta dva predpisa
$$
f(x)=\frac{x}{\sin x}
\qquad\mbox{ in }\qquad
g(x)=x^2-2x+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}.
$$
\begin{enumerate}[label=\rm(\roman*)]
\item Za oba predpisa določi maksimalno (naravno) definicijsko območje. 
\item Pokažite, da je $g(\frac{1}{f(x)})=(g\circ f)(x)$. (Odgovor natanko utemeljiti.)
\end{enumerate}
\end{zad}






\begin{zad}
Dana sta para funkcij $f(x)=\ds\frac{1}{x^2+1}$ in $g(x)=\sqrt{x}$. Izračunaj predpisa in definicijski območji funkcij $f\circ g$ in $g\circ f$.
\end{zad}








\begin{zad}
Naj bosta $f$ in $g$ realni funkciji realne spremenljivke, ki sta podani s predpisoma
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
-1, & x < 1\\
1, & x\ge 1
\end{array}\right.,\qquad
g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
x^2, & x<0\\
x^2-x-1, & x\ge 0
\end{array}\right..
$$
Določite kompozitum $f\circ g$.
\end{zad}


\begin{zad}
Naj bosta $f$ in $g$ realni funkciji realne spremenljivke, ki sta podani s predpisoma
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
-x^2+1, & x \ge 0 \vspace{0.2cm}\\
e^{x}, & x < 0
\end{array}\right.,\qquad
g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
1, & x<1 \vspace{0.3cm}\\
-1, & x\ge 1
\end{array}\right..
$$
Določite kompozitum $g \circ f$ in $f\circ g$.
\end{zad}





\begin{zad}
Naj bosta $f$ in $g$ realni funkciji realne spremenljivke, ki sta podani s predpisoma
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{lcc}
             x & ; & x < 0 \\
             0 & ; & x \geq 0
           \end{array}\right.,
\hspace{1cm}
g(x)=\left\{\begin{array}{lcc}
             1 & ; & |x| \geq \frac{\pi}{2} \\
             |\sin x| & ; & |x| < \frac{\pi}{2}
           \end{array}\right.
$$
Zapišite predpis, po katerem slika kompozitum $g \circ f$. 
\end{zad}







\section*{Racionalna števila}




\begin{zad}
Dokaži, da je število $\sqrt{5}$ iracionalno.
\end{zad}




\begin{zad}
Dokaži, da je število $\sqrt{7}$ iracionalno.
\end{zad}





\newpage
\section*{Realna števila}



\begin{zad}
V množici realnih števil, za množico $A$, določi supremum, infimum, minimum ter maksimum, če obstajajo:
$$
A=\left\{1-\ds\frac{1}{n} \mid n\in\NN \right\}.
$$
Tudi podajte primere spodnje meje in zgornje meje. (Podrobno razloži, zakaj je zahtevana številka infimum/supremum, oziroma podrobno razloži zakaj množica nima infimuma/supremuma.)
\end{zad}




\begin{zad}
V množici realnih števil, za množico $S$, določi supremum, infimum, minimum ter maksimum, če obstajajo:
$$
S=\left\{x\in\RR : |x|+2\ge 2x \right\}.
$$
Tudi podajte primere spodnje meje in zgornje meje. (Podrobno razloži, zakaj je zahtevana številka infimum/supremum, oziroma podrobno razloži zakaj množica nima infimuma/supremuma.)
\end{zad}






\begin{zad}
V množici realnih števil, za množici $A$ in $B$, določi supremum, infimum, minimum ter maksimum, če obstajajo.
\begin{enumerate}[label=\rm(\alph*)]
\item $A=\{x\mid x^2\le 11\}$.
\item $B=\{x\in[2,5]\mid x \mbox{ ima v decimalnem zapisu vsej dve trojki}\}$.
\end{enumerate}
Tudi podajte primer spodnje meje in zgornje meje za $A$ in $B$. V primeru (b) podaj definicijo infimuma in supremuma ter podrobno razloži, zakaj je zahtevana številka infimum/supremum, oziroma podrobno razloži zakaj množica nima infimuma/supremuma.
\end{zad}










\section*{Številski sistemi}



\begin{zad}
(a) Desetiško število $751$ pretvoriti v šestiško število. 

(b) Šestiško število $451$ pretvoriti v desetiško število. 
\end{zad}



\begin{zad}
(a) Desetiško število $588$ pretvoriti v šestiško število.

(b) Šestiško število $544$ pretvoriti v desetiško število.
\end{zad}






\newpage
\section*{Kompleksna števila}





\begin{zad}
Naj bo $z = 1 + i$.
\begin{enumerate}[label=\rm(\alph*)]
\item Kompleksno število $z^{50}$ zapisati v polarni obliki, ter izračunati njegovo realno in imaginarno komponento.
\item Kompleksno število $z^{-1}$ zapisati v polarni obliki, ter izračunati njegovo realno in imaginarno komponento.
\item Dano kompleksno število $z=1+i$ lahko ponazorimo s točko $T(1,1)$ u kompleksni ravnini. Razložiti geometriski pomen produkta $z\cdot (\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4})$ glede na točko $T$. Kaj je pa geometriski pomen produkta $z\cdot (\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4})$ glede na točko $T$?
\end{enumerate}
\end{zad}







\begin{zad}
Rešiti v obsegu kompleksnih števil enačbo:
$$
z^2=2\,i.
$$
Vse rešitve zapišite v obliki $a + ib$ (kjer sta $a$ in $b$ neki realni števili), ter jih napišite v polarni obliki. Tudi, vse rešitve narisati v kompleksni ravnini s pravokotnimi koordinatami.
\end{zad}



\begin{zad}
V množici kompleksnih števil $\CC$ poiščite rešitve enačbe
$$
2z^2+1=2i\,\mbox{\rm Im}(z).
$$
Rešitve zapišite v polarni obliki.
\end{zad}



\begin{zad}
Reši v obsegu kompleksnih števil enačbo:
$$
z^3=-4.
$$
Vse rešitve zapiš v obliki $a + ib$ (kjer sta $a$ in $b$ neki realni števili), ter jih napiši v polarni obliki. Tudi, vse rešitve nariši v kompleksni ravnini s pravokotnimi koordinatami.
\end{zad}






\begin{zad}
Poišči vsa kompleksna števila $z$, ki zadoščajo enakosti $z^8 = 1$. Vse rešitve zapisati v polarni in pravokotni obliki (tj. vse rašitve zapisati v obliki $r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$, kjer sta $r\in\RR$, $\varphi\in[0,2\pi)$; in v obliki $x+iy$, kjer sta $x,y\in\RR$). Tudi, vse rešitve narisati v kompleksni ravnini s pravokotnimi koordinatami.
\end{zad}

















\newpage
\section*{Zaporedja}





\begin{zad}
Dokažite, da je zaporedje s splošnim členom $\ds{a_n=\frac{1}{\frac{n}{2n+1}}}$ 
(a)~monotono (b)~navzgor omejeno (c)~navzdol omejeno (d)~omejeno (e)~konvergentno.
\end{zad}





\begin{zad}
Realno zaporedje je podano s splošnim členom 
$$
a_{n}=2+\frac{1}{\frac{n}{n+1}}.
$$
Zapiši prvi, peti, deseti, stoti in tisoči člen zaporedja. Utemeljite, ali je dano zaporedje (a)~monotono (b)~navzgor omejeno (c)~navzdol omejeno (d)~omejeno. Če je zaporedje konvergentno, mu poiščite limito.
\end{zad}





\begin{zad}
Realno zaporedje je podano s prvim členom $x_1 = 1$ in rekurzivno zvezo
$$
x_{n+1}=\frac{2x_n+3}{x_n+2}.
$$
Utemeljite, ali je dano zaporedje (a)~monotono (b)~navzgor omejeno (c)~navzdol omejeno (d)~omejeno. Če je zaporedje konvergentno, mu poiščite limito.
\end{zad}







\begin{zad}
Izračunaj limito
$$
\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n-3}-\sqrt{n+3}).
$$
\end{zad}










\begin{zad}
Realno zaporedje $(a_n)_{n\in{\mathbb N}}$ je podano s splošnim členom
$$
a_n=\frac{n}{\sqrt{2+3n^2}}.
$$
\begin{enumerate}[label=\rm(\alph*)]
\item Pokažite, da je zaporedje $(a_n)_{n\in{\mathbb N}}$ monotono.
\item Pokažite, da je zaporedje $(a_n)_{n\in{\mathbb N}}$ omejeno.
\item Poišcite limito zaporedja $(a_n)_{n\in{\mathbb N}}$. 
\end{enumerate}
\end{zad}








\begin{zad}
Realno zaporedje $(a_n)_{n\in{\mathbb N}}$ je podano z rekurzivno zvezo
$$
a_{n+1}=5\sqrt{a_n-1}-3
$$
in prvim členom $a_1 = 5$.
\begin{enumerate}[label=\rm(\alph*)]
\item Pokažite, da je zaporedje $(a_n)_{n\in{\mathbb N}}$ monotono.
\item Pokažite, da je zaporedje $(a_n)_{n\in{\mathbb N}}$ omejeno.
\item Poiščite limito zaporedja $(a_n)_{n\in{\mathbb N}}$.
\end{enumerate}
\end{zad}




\newpage
\section*{Limita funkcije}


\begin{zad}
Izračunaj limito
$$
\lim_{x\to 1} \frac{x^2 + x - 2}{- 2x^2 + 6x - 4}
$$
(seveda, izračunati {\bf brez} uporabe L'Hopitalovega pravila (ki smo delali v Analizi II)).
\end{zad}






\begin{zad}
Izračunaj limito 
$$
\ds{\lim_{x\to+\infty} x\,\arcctg x }
$$
(seveda, izračunati {\bf brez} uporabe L'Hopitalovega pravila (ki smo delali/bomo delali v Analizi II)).
\end{zad}







\begin{zad}
Izračunaj limito 
$$
\ds{\lim_{\alpha\to\frac{\pi}{2}-0} \left(\sqrt{\tg\!^2\alpha + \frac{1}{\cos\alpha}} -\tg\alpha\right)}
$$
(seveda, izračunati {\bf brez} uporabe L'Hopitalovega pravila (ki smo delali/bomo delali v Analizi II)).
\end{zad}





\section*{Vrste}



\begin{zad}
Z uporabo razcepa na parcialne ulomke seštej vrsto
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+7)(n+8)}.
$$
\end{zad}








\begin{zad}
Natančno utemeljite, za katera realna števila $a\in\RR$ vrsta
$$
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a\,n^5}{2^n}
$$
konvergira (če sploh takšno število $a$ obstaja).
\end{zad}




\begin{zad}
Natančno utemeljite, za katera realna števila $\alpha\in\RR$ vrsta
$$
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\alpha}{\sqrt{n}}
$$
konvergira (če sploh takšno število $\alpha$ obstaja).
\end{zad}








\begin{zad}
Utemeljite, ali podana vrsta konvergira, ali ne
$$
\ds\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(\sqrt{7}-2)^n}.
$$
\end{zad}





\begin{zad}
Utemeljite, ali podana vrsta konvergira, ali ne 
$$
\ds\sum_{n=1}^\infty n! \left(\frac{2}{n}\right)^n.
$$
\end{zad}







\section*{Zveznost funkcije}







\begin{zad}
Določi konstanto $k$ tako, da bo funkcija
$$
f(x)=
\left\{
\begin{array}{lcl}
5&;&x\in(-\infty,2),\\
x^2-10x+k&;&x\in[2,6],\\
-3&;&x\in(6,+\infty)\\
\end{array}
\right.
$$
zvezna na $\RR$, če je mogoče.
\end{zad}






\begin{zad}
Določi konstanti $\alpha$ in $\beta$ tako, da bosta funkciji 
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
\arcctg(\frac{1}{x}), & x\ne 0\\
\alpha, & x=0
\end{array}\right.\qquad\mbox{ in }\qquad
g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
\arcctg(x), & x\ne 0\\
\beta, & x=0
\end{array}\right..
$$
zvezni na $\RR$, če je mogoče (če takšni konstanti sploh obstajata).
\end{zad}



\end{document}
