\documentclass[a4paper,12pt]{article}
%%\pagestyle{empty}

\usepackage[left=15mm,right=20mm,top=15mm,bottom=22mm]{geometry}
\usepackage{booktabs, multicol, hvfloat}
\usepackage{makeidx, graphicx, amsmath, amssymb, amsthm, ae}
\usepackage[bosnian]{babel}
%%\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage{mathtools} %xarrow


\usepackage{kbordermatrix}% http://www.hss.caltech.edu/~kcb/TeX/kbordermatrix.sty


\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    colorlinks=true,
    linkcolor=blue,
    filecolor=magenta,      
    urlcolor=cyan,
}


\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.15}
\usepackage{mathrsfs}
\usetikzlibrary{arrows}
\usetikzlibrary{decorations.pathreplacing,decorations.markings} %%%for arrows

\usepackage{enumitem}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% for arrows in directed graph
\tikzset{
  % style to apply some styles to each segment of a path
  on each segment/.style={
    decorate,
    decoration={
      show path construction,
      moveto code={},
      lineto code={
        \path [#1]
        (\tikzinputsegmentfirst) -- (\tikzinputsegmentlast);
      },
      curveto code={
        \path [#1] (\tikzinputsegmentfirst)
        .. controls
        (\tikzinputsegmentsupporta) and (\tikzinputsegmentsupportb)
        ..
        (\tikzinputsegmentlast);
      },
      closepath code={
        \path [#1]
        (\tikzinputsegmentfirst) -- (\tikzinputsegmentlast);
      },
    },
  },
  % style to add an arrow in the middle of a path
  mid arrow/.style={postaction={decorate,decoration={
        markings,
        mark=at position .5 with {\arrow[#1]{stealth}}
      }}},
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\def\cm{{\mbox{\rm cm}}}
\def\Inn{{\mbox{\rm Inn}}}

\def\Ra{\Rightarrow}

\def\Sym{{\mbox{\rm Sym}}}
\def\RotSym{{\mbox{\rm RotSym}}}
\def\lcm{{\mbox{\rm lcm}}}
\def\id{{\mbox{\rm id}}}

\def\NN{{\mbox{$\mathbb N$}}}
\def\RR{{\mbox{$\mathbb R$}}}
\def\QQ{{\mbox{$\mathbb Q$}}}
\def\ZZ{{\mbox{$\mathbb Z$}}}
\def\T{{\mbox{$\mathbb T$}}}
\def\H{{\mbox{$\mathbb H$}}}
\def\Q{{\mbox{$\mathbb Q$}}}
\def\F{{\mbox{$\mathbb F$}}}
\def\C{{\mbox{$\mathbb C$}}}
\def\E{{\mbox{$\mathcal{E}$}}}
\def\I{{\mbox{$\mathcal{I}$}}}
\def\M{{\mbox{$\mathcal{M}$}}}

\def\S{{\mbox{$\mathcal{S}$}}}
\def\L{{\mbox{$\mathcal{L}$}}}
\def\G{{\mbox{$\mathcal{G}$}}}
\def\P{{\mbox{$\mathcal{P}$}}}

\def\B{{\mbox{$\mathcal{B}$}}}
\def\A{{\mbox{$\mathcal{A}$}}}
\def\O{{\mbox{$\mathcal{O}$}}}

\def\X{{\mbox{$\mathcal{X}$}}}
\def\V{{\mbox{$\mathcal{V}$}}}
\def\Y{{\mbox{$\mathcal{Y}$}}}
\def\W{{\mbox{$\mathcal{W}$}}}
\def\dist{{\mbox{\rm dist}}}
\def\GL{{\mbox{\rm GL}}}
\def\SL{{\mbox{\rm SL}}}
\def\NSD{{\mbox{\rm gcd}}}

\def\exc{{\mbox{\rm exc}}}
\def\ecc{{\mbox{\rm ecc}}}
\def\max{{\mbox{\rm max}}}
\def\Alt{{\mbox{\rm Alt}}}
\def\Aut{{\mbox{\rm Aut}}}
\def\Hom{{\mbox{\rm Hom}}}
\def\spec{{\mbox{\rm spec}}}
\def\rank{{\mbox{\rm rank}}}
\def\rang{{\mbox{\rm rang}}}
\def\mod{{\mbox{\rm mod}}}
\def\div{{\mbox{\rm div}}}
\def\trag{{\mbox{\rm trag}}}
\def\tr{{\mbox{\rm tr}}}
\def\dim{{\mbox{\rm dim}}}
\def\diag{{\mbox{\rm diag}}}
\def\Mat{{\mbox{\rm Mat}}}
\def\Sim{{\mbox{\rm Sim}}}
\def\ker{{\mbox{\rm ker}}}
\def\im{{\mbox{\rm im}}}
\def\mp{{\mbox{\rm mp}}}
\def\gcd{{\mbox{\rm gcd}}}

\def\K{{\mbox{$\pmb{K}$}}}
\def\J{{\mbox{$\pmb{J}$}}}



\def\j{{\mbox{$\pmb{j}$}}}

\def\0{{\mbox{\boldmath{$0$}}}}
\def\algmult{{\mbox{\rm alg\,mult}}}
\def\geomult{{\mbox{\rm geo\,mult}}}
\def\du{{\mbox{\rm \,d$u$}}}
\def\dx{{\mbox{\rm \,d$x$}}}
\def\dt{{\mbox{\rm \,d$t$}}}
\def\dy{{\mbox{\rm \,d$y$}}}
\def\dz{{\mbox{\rm \,d$z$}}}
\def\tg{{\mbox{\rm tg\,}}}
\def\arctg{{\mbox{\rm arc\,tg\,}}}
\def\arcsin{{\mbox{\rm arc\,sin\,}}}
\def\ctg{{\mbox{\rm ctg\,}}}

\def\a{{\mbox{\boldmath $a$}}}
\def\q{{\mbox{\boldmath $q$}}}
\def\b{{\mbox{\boldmath $b$}}}
\def\j{\mbox{\boldmath $j$}}
%%\def\u{{\mbox {\boldmath $u$}}}
\def\m{{\mbox {\boldmath $m$}}}
\def\n{{\mbox {\boldmath $n$}}}
\def\vv{{\mbox {\boldmath $v$}}}
\def\w{{\mbox {\boldmath $w$}}}
\def\x{\mbox{\boldmath $x$}}
\def\h{{\mbox {\boldmath $h$}}}
\def\y{\mbox{\boldmath $y$}}
\def\0{\mbox{\boldmath $0$}}
\def\z{\mbox{\boldmath $z$}}
\def\p{\mbox{\boldmath $p$}}
\def\l{\mbox{$\lambda$}}

\def\e{{\mbox{\boldmath $e$}}}
\def\ro{{\mbox{\boldmath $\rho$}}}



\newcommand{\ol}{\overline}
\newcommand{\Llra}{\Longleftrightarrow}
\newcommand{\Lra}{\Leftrightarrow}
\newcommand{\ra}{\rightarrow}
\newcommand{\LRa}{\Leftrightarrow}
\newcommand{\ora}{\overrightarrow}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}



\DeclareMathOperator{\D}{{\cal D}}
\DeclareMathOperator{\Z}{{\cal Z}}
\DeclareMathOperator{\PP}{{\mathbb P}}





\newtheoremstyle{zaFiguru} %name
  {4.4mm}    %Space above, empty = `usual value'
  {4.5mm}    %Space below
  {\rm}   %Body font
  {}     %Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
  {\bf}   %Thm head font
  {}      %Punctuation after thm head
  {2mm}   %Space after thm head: \newline = linebreak
  {\thmname{#1} \thmnumber{{\Large #2.}}\thmnote{\,(#3)}}       %Thm head spec  

  
  
 

%%\swapnumbers
\theoremstyle{zaFiguru}
\newtheorem{zad}{}


\def\ug{{{\measuredangle}}}
\def\tr{{{\triangle}}}


\setlength{\textheight}{262mm}
\setlength{\textwidth}{180mm}
\begin{document}
\allowdisplaybreaks


\raggedright
\section{Matematična logika}








\begin{zad}
Na zelo posebnem otoku živita dve vrsti ljudi, ki jim pravimo vitezi in oprode. Vitezi vedno govorijo resnico, oprode pa vedno lažejo. Na otoku srečamo dva prebivalca, in sicer Tomaža in Petra.
\begin{enumerate}[label=\rm~]
\item Peter reče: ``Tomaž je oproda.''
\item Tomaž reče: ``Oba sva viteza.''
\end{enumerate}
Kaj lahko rečemo za Petra?
\end{zad}







\begin{zad}
Na zelo posebnem otoku živita dve vrsti ljudi, ki jim pravimo vitezi in oprode. Vitezi vedno govorijo resnico, oprode pa vedno lažejo. Prisluhnimo pogovoru dveh otočanov Žiga in Žana.
\begin{enumerate}[label=\rm~]
\item Žiga: ``Ni res, da je Žan oproda.''
\item Žan: ``Jaz in Žiga nisva iste vrste.''
\end{enumerate}
Kdo je vitez in kdo oproda?
\end{zad}







\begin{zad}[{izpit, november 2021.}]
Na zelo posebnem otoku živita dve vrsti ljudi, ki jim pravimo vitezi in oprode. Vitezi vedno govorijo resnico, oprode pa vedno lažejo. Na otoku srečamo dva prebivalca Blaža in Lukata. 
\begin{enumerate}[label=\rm~]
\item Blaž reče: ``Luka je vitez.''
\item Luka reče: ``Oba sva viteza.''
\end{enumerate}
Kaj je Blaž?
\end{zad}






\begin{zad}
Natanko ena od skrinj z oznakami $A$, $B$, $C$ in $D$ vsebuje zlato in natanko ena od spodnjih izjav je pravilna. V kateri skrinji je zlato?
\begin{enumerate}
\item[$A$:] Zlato je tu.
\item[$B$:] Zlato je v $A$ ali $D$.
\item[$C$:] Zlata ni tu.
\item[$D$:] Zlato je tu.
\end{enumerate}
\end{zad}









\begin{zad}
Vitezi vselej govorijo resnico, oprode pa vselej lažejo. Andrej, Bine in Cene so vitezi ali oprode. Določite, kateri so vitezi ali oprode, glede na naslednje podane izjave:
\begin{enumerate}[leftmargin=1.6cm]
\item[Andrej:] ``Bine je oproda, Cene pa je vitez''.
\item[Bine:] ``Če je Andrej oproda, potem je oproda tudi Cene''.
\item[Cene:] ``Jaz nisem oproda, toda vsaj eden od ostalih dveh je oproda''.
\end{enumerate}
\end{zad}







\begin{zad}
Na zelo posebnem otoku živita dve vrsti ljudi, ki jim pravimo vitezi in oprode. Vitezi vedno govorijo resnico, oprode pa vedno lažejo.


Danes pa je plesni dan ne otoku, kar pomeni, da ljudje stojijo v krogih, se držijo za roke in plešejo. To je čas veselja, vsi so srečni, še posebej težko pa je ločiti viteze od oprod.


Štirje posamezniki, in sicer Nika, Mikhail, Leon in Timotej (v cikličnem vrstnem redu), se držijo za roke v krogu. Zdi se, da vsi pravijo:
\begin{enumerate}[label=\rm~]
\item ``V stiku sem z natanko enim vitezom!''
\end{enumerate}

Ali je to mogoče? Če je mogoče, poiščite vsaj eno ureditev vitezov/oprodov glede na omenjene štiri osebe. Ali lahko najdete rešitev, kjer je Mikhail oproda? Poiščite vse rešitve!
\end{zad}





\begin{zad}
Predpostavimo, da sta naslednji izjavi pravilni:
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item Ostržek vedno laže;
\item Ostržek pravi: ``Vsi moji klobuki so zeleni''.
\end{enumerate}
Ali lahko iz teh dveh izjav sklepamo, da je katera izmed naslednjih izjav pravilna?
\begin{enumerate}
\item[$A$:] Ostržek ima natanko en klobuk, in sicer zelen klobuk.
\item[$B$:] Ostržek ima vsaj en zelen klobuk.
\item[$C$:] Ostržek nima zelenih klobukov.
\end{enumerate}
\end{zad}














\bigskip
\begin{center}
Vse naloge so prenesene z naslednje spletne strani: \url{https://osebje.famnit.upr.si/~penjic/teaching.html}.

{\sc Na isti strani lahko bralec najde vse rešitve podanih nalog.}
\end{center}









\newpage
\section{Logične ekvivalence in izbrani obliki izjav}






\begin{zad}
\begin{enumerate}[label=\rm(\alph*)]
\item Z osnovnima povezavama $\neg$ in $\wedge$ izrazite sestavljeno izjavo $A\vee B$.
\item  \hvFloat[floatPos=!htb,capPos=before,onlyText=true,]{}
{
\begin{tabular}{ c|c|c } 
 $p$ & $q$ & $C$ \\ 
\hline
 0 & 0 & 1 \\ 
 0 & 1 & 1 \\ 
 1 & 0 & 0 \\ 
 1 & 1 & 1 \\ 
\end{tabular}
}
{
Recimo, da imamo predpisano tabelo na desni strani. Poiščite $C$.
}{fg}
\end{enumerate}
\end{zad}








\begin{zad}
Podana je sestavljena izjava
$$
(\neg p \land \neg q) \lor \neg(q\land r).
$$
Naredite pravilnostno tabelo. 
\end{zad}





\begin{zad}
Ali je naslednje sklepanje pravilno? 
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item Mislim, torej sem. Mislim, torej sklepam. Sklep: Sem, torej sklepam.
\end{enumerate}
\end{zad}






\begin{zad}[{izpit, november 2021.}]
Podana je sestavljena izjava
$$
(A\Ra B) \land (B\Ra C).
$$
\begin{enumerate}[label=\rm(\alph*)]
\item Naredite pravilnostno tabelo. 
\item Kaj lahko rečete o pravilnosti izjav $B$ in $C$, če je podana sestavljena izjava pravilna in je $A$ pravilna izjava? 
\item Napišite {\bf negacijo} podane sestavljene izjave v izbrani disjunktivni obliki. 
\end{enumerate}
\end{zad}




\begin{zad}
Podana je sestavljena izjava
$$
(\neg A\lor B) \Lra (C\Ra A).
$$
\begin{enumerate}[label=\rm(\alph*)]
\item Naredite pravilnostno tabelo.
\item Kaj lahko rečete o pravilnosti izjav $A$ in $C$, če je podana sestavljena izjava nepravilna in je $B$ pravilna izjava.
\item Napišite negacijo podane sestavljene izjave v izbrani disjunktivni obliki.
\end{enumerate}
\end{zad}




\begin{zad}
Za podano sestavljeno izjavo naredite pravilnostno tabelo in določite njeno izbrano konjunktivno in disjunktivno obliko:
$$
(A\lor B)\land (\neg A\lor C)\Lra\neg (B\Ra\neg C).
$$
\end{zad}






\begin{zad}
Za naslednjo sestavljeno izjavo podajte pravilnostno tabelo, določite izbrano konjunktivno in izbrano disjunktivno obliko.
$$
(A \Ra (B \Ra C)) \Ra ((A \Ra B) \Ra (A \Ra C))
$$
\end{zad}






\begin{zad}
Podana je sestavljena izjava
\begin{equation}
\label{vn}
\neg A \land (A\Lra B) \Ra \neg B.
\end{equation}
Kaj lahko rečete o pravilnosti implikacije \eqref{vn}? 
Z drugimi besedami, je izjava pravilna za vsa določila ali obstaja določilo, za katerega je izjava napačna? Rešitev podajte na dva različna načina:
\begin{enumerate}[label=\rm(\roman*)]
\item Z uporabo pravilnostne tabele.
\item Brez uporabe pravilnostne tabele.
\end{enumerate}
\end{zad}






\begin{zad}
Določi sestavljeno izjavo $\mathcal{I}$, da bo $$(A\Rightarrow (\mathcal{I} \Rightarrow \neg B))\Rightarrow (A\wedge B) \vee \mathcal{I}$$
tavtologija.
\end{zad}















\bigskip
\begin{center}
Vse naloge so prenesene z naslednje spletne strani: \url{https://osebje.famnit.upr.si/~penjic/teaching.html}.

{\sc Na isti strani lahko bralec najde vse rešitve podanih nalog.}
\end{center}









\newpage
\section{Načini dokazovanja}






\begin{zad}
Pokažite: če je $n$ celo število in je $3n+2$ liho število, potem je $n$ liho število.
\end{zad}





\begin{zad}
S protislovjem pokažite, da je število $\log_{\sqrt{2}}{3}$ iracionalno.
\end{zad}




\begin{zad}
Pokažite: 
$
\mbox{Če je $n$ sodo število, potem je $n^2 +3n$ sodo.}
$\\
Ali je obrat pravilen?
\end{zad}






\begin{zad}
Naj bo $n$ celo število $(n\in\ZZ)$. Dokažite, da je $n^2\ge n$.
\end{zad}




\begin{zad}
Naj bosta $x$ in $y$ realni števili, da velja $x<2y$. Dokažite naslednjo implikacijo: 
\begin{center}
Če je $7xy\leq 3x^2 + 2y^2$, potem je $3x\leq y$.
\end{center}
\end{zad}





\begin{zad}
Pokažite: Če je $n$ liho celo število in $m$ sodo celo število, potem je $n^2+3n+nm+1$ liho število. Razložite vsak korak svojega dokaza!
\end{zad}


\begin{zad}[{izpit, november 2021.}]
Pokažite: Če je $3nm+n+m$ sodo število, potem sta $n$ in $m$ sodi števili.
\end{zad}






\begin{zad}
Dana je izjava:
$$
\mbox{Če sta $x$ in $y$ lihi celi števili, potem je njun produkt $xy$ tudi liho celo število.}
$$
\begin{enumerate}[label=\rm(\roman*)]
\item Podajte direktni dokaz zgornje implikacije. 
\item Podajte dokaz s protislovjem zgornje implikacije. 
\end{enumerate}
\end{zad}






\begin{zad}
Obratna vrednost pozitivnega realnega števila $x$ je $\frac{1}{x}$. Dana je izjava:
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item Če je realno število $x$ pozitivno, potem je vsota števila $x$ in njegove obratne vrednosti večja ali enaka $2$.
\end{enumerate}
\begin{enumerate}[label=\rm(\roman*)]
\item Podajte direktni dokaz zgornje implikacije.
\item Podajte dokaz s protislovjem zgornje implikacije.
\end{enumerate}
\end{zad}















\bigskip
\begin{center}
Vse naloge so prenesene z naslednje spletne strani: \url{https://osebje.famnit.upr.si/~penjic/teaching.html}.

{\sc Na isti strani lahko bralec najde vse rešitve podanih nalog.}
\end{center}









\newpage
\section{Izjave s predikati in kvantifikatorji}





\begin{zad}
Katere od naslednjih izjav so pravilne, če je področje pogovora množica realnih števil?
\begin{enumerate}[label=\rm(\roman*)]
\item $(\forall x)(\exists y)(x+y=0)$.
\item $(\exists x)(\forall y)(x+y=0)$.
\item $(\exists x)(\exists y)(x^2+y^2 =-1)$.
\item $(\forall x)[x>0 \Rightarrow (\exists y)(y<0 \wedge xy>0)]$.
\end{enumerate}
\end{zad}






\begin{zad}
\begin{enumerate}[label=\rm(\roman*)]
\item Z osnovnima povezavama $\neg$ in $\wedge$ izrazite sestavljeno izjavo $A\Lra B$.
\item Spomnimo se: $(\exists ! x)(x\in\RR\wedge \varphi(x))$ beremo ``Obstaja natanko en $x$ iz $\RR$, da velja $\varphi(x)$''. Naslednjo izjavo
$$
(\exists !a)(a\in\RR\land a>3\land a\le 4)
$$
napišite brez uporabe okrajšave `$\exists !$', to je, namesto uporabe kvantifikatorja $\exists !$ uporabite kvantifikatorja $\exists$ in $\forall$ (izjavo napisati brez `$!$'). Določite pravilnost dane izjave.
\end{enumerate}
\end{zad}






\bigskip
\bigskip
\hvFloat[floatPos=!htb,capPos=before,onlyText=true,]{}
{
\begin{tabular}{ c|c|c|c } 
 $p$ & $q$ & $r$ & $D$ \\ 
\hline
 1 & 1 & 1 & 0 \\ 
 1 & 1 & 0 & 0 \\ 
 1 & 0 & 1 & 0 \\ 
 1 & 0 & 0 & 1 \\ 
 0 & 1 & 1 & 0 \\ 
 0 & 1 & 0 & 1 \\ 
 0 & 0 & 1 & 1 \\ 
 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{tabular}
}
{
\begin{zad}
\begin{enumerate}[label=\rm(\alph*)]
\item Recimo, da imamo predpisano tabelo na desni strani. Poiščite $D$.
\item  Zakon trihotomije pove: ``Za vsak par realnih števil $a$, $b$ velja natanko ena od treh možnosti: $a = b$, $a < b$ ali pa $a > b$''. 
\smallskip
Zakon trihotomije zapišite z uporabo kvatifikatorja in veznika ($\forall,\exists,\land,\lor,\neg,\Ra$).
\end{enumerate}
\end{zad}
}{fg}







\begin{zad}
Dana je množica $A$, definirana na naslednji način:
$$
A=\{n\in\NN \mid n \mbox{ je liho število } \land (\exists k)\big(k\in\NN \land n = k(k + 1)\big)\}.
$$
Pokažite, da je $A$ prazna množica.
\end{zad}





\begin{zad}
Negirajte naslednjo izjavo s kvantifikatorji
$$
(\forall a)(\forall b)((a^2 + b^2 = 0) \Rightarrow (a = 0) \vee (b= 0)).
$$
Določite, ali je negacija pravilna izjava.
\end{zad}






\begin{zad}
Naslednjo trditev zapiši s kvantifikatorji in jo pokaži: Ne obstaja liho število, ki bi ga lahko izrazili v obliki $4j +1$ in $4k -1$ za celi števili $j$ in $k$.
\end{zad}














\bigskip
\begin{center}
Vse naloge so prenesene z naslednje spletne strani: \url{https://osebje.famnit.upr.si/~penjic/teaching.html}.

{\sc Na isti strani lahko bralec najde vse rešitve podanih nalog.}
\end{center}









\newpage
\section{Množice. Unija, presek in razlika množic.}




\begin{zad}
Naj bodo $A = \{1, 2, 5, 6, 7, 10, 11, 12\}$, $B = \{x \mid x \mbox{ je liho celo število in } 3\le x\le 10\}$ in $C = \{a, b, c, 4, 5, 6\}$.
\begin{enumerate}[label=\rm(\alph*)]
\item Izpolnite prazna mesta $\,\_\!\_\!\_\,$ z najprimernejšim simbolom $(\in,\notin,\subseteq,\not\subseteq)$:\newline
$7\,\_\!\_\!\_\,A$, $6\,\_\!\_\!\_\,B$, $10\,\_\!\_\!\_\,B$, $4\,\_\!\_\!\_\,A$, $b\,\_\!\_\!\_\,C$, $b\,\_\!\_\!\_\,B$, $\{2, 5, 12\}\,\_\!\_\!\_\,A$, $\{3, 5, 6\}\,\_\!\_\!\_\,B$, $\{a, b, 5\}\,\_\!\_\!\_\,C$.
\item Izračunajte $A\cup B$, $A\setminus B$, $\P(A\cap B)$, $(A\cap B) \times \{a, b\}$.
\end{enumerate}
\end{zad}








\begin{zad}
Naj bo $A = \{2n - 1: n\in\ZZ\}$ množica vseh lihih celih števil in naj bo $B = \{(2n-1)^3 : n\in\ZZ\}$ množica vseh kubov lihih celih števil. Pokažite, da velja $B\subseteq A$.
\end{zad}









\begin{zad}
\begin{enumerate}[label=\rm(\roman*)]
\item Pokažite, da za poljubne množice $A$, $B$ in $C$ velja
$$
A\subseteq C  \wedge B\subseteq C \Rightarrow A\cup B\subseteq C.
$$
\item Določite naslednje množice: 
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item $\{\emptyset, \{\emptyset\}\}\setminus \emptyset$.
\item $\{\emptyset, \{\emptyset\}\}\setminus \{\emptyset\}$.
\item $\{\emptyset, \{\emptyset\}\}\setminus \{\{\emptyset\}\}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{zad}












\begin{zad}
Poiščite vse nabore množic $A, B, C$, za katere je $$B \setminus A = A \cup C = C \cap B = \{ 1 \}.$$
\end{zad}







\begin{zad}
Ali je naslednja trditev pravilna za poljubne množice $A, B$ in $C$:
$$
\mbox{Če $A\cap B\subseteq \overline{C}$ in $A\cup C \subseteq B$, potem $A\cap C = \emptyset$.}
$$
\end{zad}





\begin{zad}
Utemeljite, ali za poljubne množice $A$, $B$ in $C$ velja trditev
$$
A\cap B=A\cap C \Ra B=C.
$$
\end{zad}







\begin{zad}
Naj bosta $A$ in $B$ poljubni množici. Dokažite:
$$
(A \cap B) \cup (B \setminus A) = B.
$$
\end{zad}







\begin{zad}
Naj bosta $X$ and $Y$ podmnožici univerzalne množice $U$. Pokažite, da je
$$
(X\cup Y)^c=X^c\cap Y^c.
$$
\end{zad}





\bigskip
\begin{zad}[{izpit, november 2021.}]
\begin{enumerate}[label=\rm(\alph*)]
\item Naj bosta $A$ in $B$ dani množici. Pokažite, da je $A\cap (B\slash A)=\emptyset$. Razložite vsak korak svojega dokaza.
\item Naj bosta $A$ in $B$ dani podmnožici univerzalne množice $U$. Pokažite, da je $A\subseteq B$, če in samo če $\ol{B}\subseteq\ol{A}$. Razložite vsak korak svojega dokaza.
\end{enumerate}
\end{zad}






\begin{zad}
Utemeljite, ali za poljubne množice $A$, $B$ in $C$ velja trditev
$$
(A\cup B)\cap(A\cup C)\subseteq \ol{A}\cup C.
$$
Razložite vsak korak svojega dokaza.
\end{zad}







\begin{zad}
Naj bodo $A$, $B$ in $C$ poljubne množice. Dokažite
$$
A\setminus (B\cap C) = (A\setminus B)\cup (A\setminus C).
$$
\end{zad}






\begin{zad}
Pokažite, da za poljubne množice $A$, $B$ in $C$ velja $(A\cap B)\setminus C = (A\setminus C)\cap (B\setminus C)$.
\end{zad}













\bigskip
\begin{center}
Vse naloge so prenesene z naslednje spletne strani: \url{https://osebje.famnit.upr.si/~penjic/teaching.html}.

{\sc Na isti strani lahko bralec najde vse rešitve podanih nalog.}
\end{center}









\newpage
\section{Potenčna množica}





\begin{zad}
Naj bo $S=\{1,2,3\}$. Katere od naslednjih trditev so pravilne (če sploh obstajajo takšne)? Za vsako trditev razložite, zakaj je pravilna oziroma nepravilna.
\begin{enumerate}[label=\rm(\alph*)]
\item $S\subseteq\P(S)$. 
\item $\P(S)\subseteq S$. 
\item $S\in\P(S)$. 
\item $(\forall x)(x \in S \Rightarrow x \in \P(S))$. 
\item $(\exists x)(x \in S \Rightarrow x \in \P(S))$.
\end{enumerate}
\end{zad}







\begin{zad}
Utemeljite, ali za poljubni množici $A$ in $B$ velja trditev
$$
A\subseteq B \Ra \P(A)\subseteq\P(B).
$$
\end{zad}






\begin{zad}
Ali velja  $\mathcal{P}(A\times B) = \mathcal{P}(A) \times \mathcal{P}(B)$? Odgovor natanko utemeljite.
\end{zad}








\begin{zad}
Utemeljite, ali je naslednja izjava resnična ali neresnična: 

\begin{enumerate}[label=\rm~]
\item Če za množici $X$ in $Y$ velja $\P(X)=\P(Y)$, potem sta množici $X$ in $Y$ enaki.
\end{enumerate}
\end{zad}






\begin{zad}
Naj bo $A$ neprazna množica. Ugotovite, katere od množic $$\emptyset,\{\emptyset\}, A, \{A\}, \{A,\emptyset\}$$ so elementi in katere podmnožice množic $\mathcal{P}(A)$ in $\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))$.
\end{zad}










\section{Kartezični produkt množic}




\begin{zad}
Ali velja  $\mathcal{P}(A\times B) = \mathcal{P}(A) \times \mathcal{P}(B)$? Odgovor natanko utemeljite.
\end{zad}







\begin{zad}
Utemeljite, ali za poljubne množice $A$, $B$ in $C$ velja trditev
\begin{equation}
\label{zi}
A\times (B\cup C)= (A\times B)\cup (A\times C).
\end{equation}
\end{zad}












\bigskip
\begin{center}
Vse naloge so prenesene z naslednje spletne strani: \url{https://osebje.famnit.upr.si/~penjic/teaching.html}.

{\sc Na isti strani lahko bralec najde vse rešitve podanih nalog.}
\end{center}









\newpage
\section{Relacije}





\begin{zad}
Relacije lahko podamo eksplicitno, tako da preprosto navedemo vse urejene pare, ki jo sestavljajo. Tako je na primer za $A = \{1, 2, 3, 4\}$ ena izmed možnih relacij na $A$ relacija
$$
R = \{(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (4, 2), (4, 4)\}.
$$
\begin{enumerate}[label=\rm(\roman*)]
\item Podajte implicitno obliko relacije $R$. (Kaj mora veljati, da je $x\in A$ v relaciji $R$ z $y\in A$?)
\item Ali je $R$ refleksivna relacija?
\item Ali je $R$ simetrična relacija?
\item Ali je $R$ tranzitivna relacija?
\end{enumerate}
\end{zad}





\begin{zad}[1. kolokvij, november 2021.]
V potenčno množico $\P(M)$ množice $M = \{1, 2\}$ vpeljemo relacijo $R$ s predpisom
$$
ARB \qquad \Longleftrightarrow \qquad
A\cup\{1\}=B\cup\{2\}.
$$
Napišite vse urejene pare v $R$.
\end{zad}






\begin{zad}
Naj bo $A=\{4,5,6,7,8\}$. Imamo naslednjo relacijo: 
$$
R=\{(a,b)\in A\times A\mid b=a+2\}.
$$
\begin{enumerate}[label=\rm(\alph*)]
\item Napišite vse urejene pare v $R$. 
\item Ali je relacija $R$ tranzitivna? 
\item Ali je relacija $R$ antisimetrična? 
\item Uporabite $0-1$ matriko za predstavitev relacije (označite vrstice in stolpce z elementi množice $A$ tako, da označite, kateri element množice $A$ predstavlja vrstico oziroma stolpec). 
\end{enumerate}
\end{zad}





\begin{zad}
Na množici naravnih števil $\NN$ definiramo relacijo $\!\not|$:
$$
a\!\not| b 
\qquad\Longleftrightarrow\qquad
\mbox{$a$ ne deli $b$ (tj. } \exists q,r\in\NN : b=aq+r
\land 1\le r< a).
$$
\begin{enumerate}[label=\rm(\alph*)]
\item Napišite vsaj pet elementov relacije $\!\not|$. 
\item Ali je relacija $\!\not|$ refleksivna? 
\item Ali je relacija $\!\not|$ simetrična? 
\item Ali je relacija $\!\not|$ antisimetrična? 
\item Ali je relacija $\!\not|$ tranzitivna? 
\item Naj bo $A=\{4,5,6,7,8\}$. Uporabite $0-1$ matriko in predstavite relacijo $\!\not|$ na množici $A$ (označite vrstice in stolpce z elementi množice $A$ tako, da označite, kateri element množice $A$ predstavlja vrstico oziroma stolpec).
\end{enumerate}
\end{zad}







\begin{zad}
Naj bo $\ZZ$ množica celih števil. Imamo naslednjo relacijo: 
$
R=\{(a,b)\in \ZZ\times\ZZ \mid 5\mbox{ deli } a^3-b^3\}.
$
\begin{enumerate}[label=\rm(\alph*)]
\item Napišite vsaj pet elementov relacije $R$. 
\item Ali je relacija $R$ refleksivna? 
\item Ali je relacija $R$ simetrična? 
\item Ali je relacija $R$ tranzitivna? 
\end{enumerate}
\end{zad}








\begin{zad}
Na množici $A = \{1, 2,\ldots, 18\}$ definiramo relacijo $R$:
$$
xRy
\qquad\Lra\qquad
y-x \mbox{ je praštevilo.}
$$
\begin{enumerate}[label=\rm(\alph*)]
\item Določite definicijsko območje in zalogo relacije $R$. 
\item Določite množico $\{y\in A \mid 10Ry\}$. 
\item Ali je relacija $R$ simetrična? 
\item Ali je relacija $R$ tranzitivna? 
\end{enumerate}
\end{zad}


















\bigskip
\begin{center}
Vse naloge so prenesene z naslednje spletne strani: \url{https://osebje.famnit.upr.si/~penjic/teaching.html}.

{\sc Na isti strani lahko bralec najde vse rešitve podanih nalog.}
\end{center}









\newpage
\section{Ekvivalenčna relacija. Ekvivalenčni razred.}








\begin{zad}[{2. kolokvij, januar 2022.}]
Na množici celih števil $\ZZ$ definiramo relacijo $R$:
$$
aRb\qquad\Lra\qquad a=b\mbox{ ali } a=-b.
$$
Pokaži, da je $R$ ekvivalenčna relacija in določi ekvivalenčne razrede.
\end{zad}





\begin{zad}
Na množici realnih števil $\RR$ definiramo relacijo $\sim$:
$$
x\sim y
\qquad\Lra\qquad 
\mbox{$x$ in $y$ sta oba pozitivna, ali sta oba negativna, ali sta oba ničla.}
$$
Pokažite, da je $\sim$ ekvivalenčna relacija, določite ekvivalenčne razrede in kvocientno množico $\RR/_\sim$.
\end{zad}





\begin{zad}
Na množici $S=\left\{\ds\frac{a}{b}\mid a,b\in\ZZ,b\ne 0\right\}$ definiramo relacijo $\sim$:
$$
\frac{a}{b}\sim \frac{c}{d} 
\qquad\Lra\qquad 
ad=bc.
$$
Utemeljite, ali je $\sim$ ekvivalenčna relacija. Če je $\sim$ ekvivalenčna relacija, poiščite ekvivalenčna razreda $[\frac{2}{5}]_\sim$ in $[7]_\sim$, ter razložite, kaj predstavlja kvocientna množica $S/_\sim$.
\end{zad}





\begin{zad}
Na množici naravnih števil $\NN$ definiramo relacijo $R$:
$$
xRy \qquad\Llra\qquad
4 \mbox{ deli } x+3y.
$$
Pokaži, da je $R$ ekvivalenčna relacija in določi ekvivalenčne razrede.
\end{zad}




\begin{zad}
Naj bo $S = \ZZ$. Na množici $S$ definiramo relacijo $R$ s predpisom
$$
aRb \quad\Llra\quad 4 \mbox{ deli izraz } a^2-b^2.
$$
\begin{enumerate}[label=\rm(\alph*)]
\item Pokažite, da je $R$ ekvivalenčna relacija na množici $S$.
\item Poiščite ekvivalenčne razrede relacije $R$.
\end{enumerate}
\end{zad}





\begin{zad}
Na množici realnih števil $\RR$ definiramo relacijo $\sim$:
$$
a\sim b\qquad\Lra\qquad a-b\in\ZZ.
$$
Utemeljite, ali je $\sim$ ekvivalenčna relacija. Če je $\sim$ ekvivalenčna relacija, poiščite ekvivalenčna razreda $[\frac{1}{2}]_\sim$ in $[\sqrt{2}]_\sim$.
\end{zad}






\begin{zad}
Naj bo $E$ množica $4$-bitnih binarnih nizov: 
$$
E=\{0000, 0001, 0010, 0011, \ldots, 1110, 1111\}.
$$
Na $E$ definiramo relacijo $R$ s predpisom
$$
xRy
\qquad\Lra\qquad 
\mbox{$x$ in $y$ imata enako število $1$.}
$$
Pokažite, da je $R$ ekvivalenčna relacija, in določite ekvivalenčne razrede. Odgovor natanko utemeljite!
\end{zad}









\begin{zad}[teoretična naloga]
Naj bodo $S$ dana neprazna množica, $\sim$ ekvivalenčna relacija na množici $S$ in $[S]_{\sim}$ kvocientna množica množice $S$. Dokažite, da je $[S]_{\sim}$ particija množice $S$.
\end{zad}















\bigskip
\begin{center}
Vse naloge so prenesene z naslednje spletne strani: \url{https://osebje.famnit.upr.si/~penjic/teaching.html}.

{\sc Na isti strani lahko bralec najde vse rešitve podanih nalog.}
\end{center}









\newpage
\section{Relacija delne urejenosti}









\begin{zad}
Naj bo $\NN$ množica naravnih števil. Na $\NN$ definiramo relacijo $R$ s predpisom
$$
xRy \qquad\Llra\qquad
\exists z\in\NN : xz=y.
$$
Prepričaj se, da je $R$ relacija delne urejenosti.
\end{zad}







\begin{zad}
Naj bo $\RR$ množica realnih števil. Na $\RR$ definiramo relacijo $R$ s predpisom
$$
aRb\qquad\Lra\qquad \exists k\in\NN_0 : b = 2^k a.
$$
\begin{enumerate}[label=\rm(\roman*)]
\item Napišite vsaj pet elementov relacije $R$. 
\item Ali je $R$ relacija delne urejenosti? 
\item Ali je $R$ relacija linearne urejenosti? 
\end{enumerate}
Vse odgovor natanko utemeljite!
\end{zad}







\begin{zad}
Opazujmo relacijo $|$ deljivosti, ki je definirana na množici pozitivnih celih števil, kjer $a|b$ beremo kot ``$a$ deli $b$''. 
\begin{enumerate}[label=\rm(\roman*)]
\item Pokažite, da je $|$ relacija delne urejenosti na $\ZZ^+$.
\item Pokažite, da relacija $|$ ni relacija linearne urejenosti na $\ZZ^+$.
\end{enumerate}
\end{zad}






\begin{zad}
Naj bo $S=\ZZ$ množica celih števil. Na $S$ definiramo relacijo $R$ s predpisom
$$
aRb \qquad\Llra\qquad
\exists r\in\NN : b=a^r.
$$
\begin{enumerate}[label=\rm(\alph*)]
\item Ali je $R$ relacija delne urejenosti? 
\item Ali je $R$ relacija linearne urejenosti? 
\end{enumerate}
\end{zad}








\begin{zad}
Naj bo $\ZZ$ množica celih števil. Na $\ZZ$ definiramo relacijo $R$ s predpisom
$$
xRy\qquad\Lra\qquad \exists n\in\NN_0 : x = y + n.
$$
Ali je $R$ relacija delne urejenosti? Ali je $R$ relacija linearne urejenosti? Odgovor natanko utemeljite!
\end{zad}








\begin{zad}
Naj bo $B_4$ množica naravnih števil od $0$ do $15$. Ta števila predstavimo v dvojiškem zapisu: število $b\in B_4$ zapišemo kot $b=b_3b_2b_1b_0$, kjer so števke $b_i$ enake $0$ ali $1$ (bolj natnčno $b=b_32^3+b_22^2+b_12^1+b_02^0$, npr. $8=1000$, $2=0010$, $15=1111$,...). Na $B_4$ definiramo relacijo $\preceq$ s predpisom
$$
a\preceq b
\quad\Longleftrightarrow\quad
\forall i~(a_i\le b_i).
$$
\begin{enumerate}[label=\rm(\roman*)]
\item Napišite vsaj pet elementov relacije $\preceq$. 
\item Ali je $\preceq$ relacija delne urejenosti? 
\item Ali je $\preceq$ relacija linearne urejenosti? 
\end{enumerate}
Vse odgovor natanko utemeljite!
\end{zad}













\bigskip
\begin{center}
Vse naloge so prenesene z naslednje spletne strani: \url{https://osebje.famnit.upr.si/~penjic/teaching.html}.

{\sc Na isti strani lahko bralec najde vse rešitve podanih nalog.}
\end{center}









\newpage
\section{Funkcije}




\begin{zad}[{2. kolokvij, januar 2022.}]
Funkcijo $f : \ZZ\ra \ZZ$ definiramo s predpisom
$$
f(x)=x^2.
$$
Obravnavajte injektivnost, surjektivnost in bijektivnost funkcije $f$.
\end{zad}





\begin{zad}
Naj bo $\RR$ množica realnih števil in naj bo $f:\RR\ra\RR$ dana funkcija,  definirana s predpisom
$$
f(x)=5x+12.
$$
Obravnavajte injektivnost, surjektivnost in določite $f^{-1}(x)$.
\end{zad}






\begin{zad}
Imamo naslednjo relacijo
$$
\{(x,y)\in\RR\times\RR : y^2=\sqrt{x}\}.
$$
Določiti, ali je podana relacija funkcija na $\RR$. (Odgovor podrobno razložite.) 
\end{zad}





\begin{zad}
Naj bo $\RR^+_0=\{x\in\RR\mid x\ge 0\}$. Imamo naslednjo relacijo
$$
\{(x,y)\in\RR^{+}_0\times\RR : y^2=\sqrt{x}\}.
$$
Določiti, ali je podana relacija funkcija iz $\RR^{+}_0$ v $\RR$. (Odgovor podrobno razložite.) 
\end{zad}



\begin{zad}
Naj bo $\RR^+_0=\{x\in\RR\mid x\ge 0\}$. Imamo naslednjo relacijo
$$
R=\{(x,y)\in\RR^+_0\times\RR^+_0 : y^2=\sqrt{x}\}.
$$
Določiti, ali je podana relacija funkcija na $\RR^+_0$. (Odgovor podrobno razložite.)
\end{zad}




\begin{zad}
Naj bosta $a,b\in\RR$ in $b\ne 0$. Funkcijo $f : \RR\setminus\{0\}\ra \RR\setminus\{a\}$ definiramo s predpisom
$$
f(x)=a+\frac{b}{x}.
$$
Obravnavajte injektivnost, surjektivnost in bijektivnost funkcije $f$.
\end{zad}






\begin{zad}
Poiščite primer:
\begin{enumerate}[label=\rm(\alph*)]
\item Injektivne funkcije $f\colon\NN\ra\NN$, ki ni surjektivna.
\item Funkcije $f\colon\NN\ra\NN$, ki je surjektivna, vendar ni injektivna.
\end{enumerate}
\end{zad}








\bigskip
\begin{zad}
Naj bo $\NN$ množica naravnih števil in naj bo $g:\NN\times\NN\ra\NN$ dana funkcija, definirana s predpisom
$$
g(m,n)=2^m\cdot 3^n.
$$
Obravnavajte injektivnost, surjektivnost in določite $g^{-1}$ (če sploh obstaja).
\end{zad}







\begin{zad}
Naj bo $\ZZ$ množica celih števil in naj bo $f:\ZZ\times\ZZ\ra\ZZ$ dana funkcija, definirana s predpisom
$$
f(m,n)=m+n.
$$
Obravnavajte injektivnost, surjektivnost in določite $f^{-1}$ (če sploh obstaja).
\end{zad}







\begin{zad}
Naj bo $f:A\ra B$ funkcija, in naj bo $\im(f):=\{y\in B \mid (\exists x)((x,y)\in f) \}$. 
%%(opazite $\im(f)\subseteq B$). 
Dokažite naslenjo implikacijo:
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item Če je $f$ injektivna funkcija, potem je $f^{-1}$ funkcija iz $\im(f)$ v $A$.
\end{enumerate}
(V zgornji implikcaciji $f^{-1}$ je inverzna relacija relacije $f$, tj. $f^{-1}=\{(y,x)\mid (x,y)\in f\}$.)
\end{zad}




\begin{zad}[teoretična naloga]
Naj bo $f:A\ra B$ funkcija. Če obstaja funkcija $g:B\ra A$, za katero velja
$$
f\circ g=\id_B\qquad\mbox{ in }\qquad
g\circ f=\id_A,
$$
pokažite, da velja: $f$ je bijektivna funkcija in $g=f^{-1}$.
\end{zad}





\begin{zad}[teoretična naloga]
Naj bosta $f:A\ra B$ in $g:B\ra A$ dani funkciji. Dokažite naslednji implikaciji.
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item Če je $f\circ g=\id_B$, potem je $f\circ g$ surjektivna funkcija.
\item Če je $f\circ g$ surjektivna funkcija, potem je tudi funkcija $f$ surjektivna.
\end{enumerate}
(V prvi zgornji implikaciji je $\id_B$ identična funkcija množice $B$, tj. $\id_B(b)=b$ za vse $b\in B$.)
\end{zad}
















\bigskip
\begin{center}
Vse naloge so prenesene z naslednje spletne strani: \url{https://osebje.famnit.upr.si/~penjic/teaching.html}.

{\sc Na isti strani lahko bralec najde vse rešitve podanih nalog.}
\end{center}









\newpage
\section{Hassejev diagram. Mreža.}





\begin{zad}
Dana je relacija $R=\{(a,b)\mid a\le b\}$ na množici $S=\{1,2,3,4\}$. 
\begin{enumerate}[label=\rm(\roman*)]
\item Pokažite, da je $R$ relacija delene urejenosti.
\item Skicirajte Hassejev diagram.
\item Ali ima $S$ strukturo mreže glede na relacijo $R$? (Odgovor utemeljite!)
\end{enumerate}
\end{zad}






\begin{zad}
Naj bo $S = \{1, 2, \ldots, 10\}$. Na množici $S$ je definirana relacija takole:
$$
x R y \quad\Lra\quad x + y \mbox{ je sodo ~in~ } x\le y.
$$
\begin{enumerate}[label=\rm(\roman*)]
\item Pokažite, da $R$ delno ureja množico $S$. 
\item Narišite Hassejev diagram glede na $R$.
\item Poiščite vse $R$-maksimalne elemente, če obstajajo.
\item Ali ima $S$ strukturo mreže glede na $R$?
\end{enumerate}
\end{zad}








\begin{zad}
Dana je relacija delne urejenosti $\{(A,B)\mid A\subseteq B\}$ definirana na potenčni množici $\P(S)$ množice $S=\{a,b,c\}$. 
\begin{enumerate}[label=\rm(\alph*)]
\item Skiciraj Hassejev diagram.
\item Poiščite spodnje in zgornje meje za podmnožico $\{\{a\}\}$.
\item Poiščite spodnje in zgornje meje za podmnožico $\{\{a,c\}\}$.
\item Poiščite spodnje in zgornje meje za podmnožico $\{\{a\},\{a,c\},\{c\}\}$.
\end{enumerate}
\end{zad}








\bigskip
\hvFloat[floatPos=!htb,capPos=after,onlyText=true,]{}
{
\includegraphics[scale=1.6]{diagram3s}
}
{
\begin{zad} 
Relacija delne urejenosti $\preccurlyeq$ na množici $S = \{a, b, c, d, e, f, g, h, i\}$ je definirana s Hassejevim diagramom levo.
\begin{enumerate}[label=\rm(\alph*)]
\item Poiščite vse $\preccurlyeq$-spodnje meje in $\preccurlyeq$-največjo spodnjo mejo podmnožice $\{d,e\}$, če obstajajo.
\item Poiščite vse $\preccurlyeq$-zgornje meje in $\preccurlyeq$-najmanjšo zgornjo mejo podmnožice $\{f,c\}$, če obstajajo.
\item Utemeljite, ali ima $S$ strukturo mreže glede na $\preccurlyeq$. Odgovor natanko utemeljite. 
\end{enumerate}
\end{zad}
}{fg}







\begin{zad}[{2. kolokvij, januar 2022.}]
Naj bo na množici $S = \{2, 4, 5, 6, 7, 10, 14, 18, 20, 24, 25\}$ definirana relacija deljivosti $R$:
$$
xRy\qquad\Lra\qquad x\mbox{ deli } y.
$$
\begin{enumerate}[label=\rm(\alph*)]
\item Narišite Hassejev diagram glede na $R$.
\item Poiščite vse $R$-maksimalne elemente, če obstajajo.
\item Poiščite vse $R$-minimalne elemente, če obstajajo.
\item Poiščite vse $R$-spodnje meje podmnožice $\{24\}$, če obstajajo.
\item Poiščite $R$-največjo spodnjo mejo podmnožice $\{24\}$, če obstaja. 
\item Utemeljite, ali ima $S$ strukturo mreže glede na $R$.
\end{enumerate}
\end{zad}





\begin{zad}
Narišite Hassejev diagram delne urejenosti $(D(60), |)$. Pri tem je $D(60) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\}$ in $|$ je relacija deljivosti. Poiščite tudi $|$-$\sup(\{20, 30\})$, $|$-$\sup(\{2, 6\})$, $|$-$\sup(\{2, 15\})$, $|$-$\inf(\{20, 30\})$ ter  $|$-$\inf(\{6, 5\})$, če obstajajo.
\end{zad}
 




\begin{zad}
Delna urejenost $R$ na množici $S$ je dana z naslednjim Hassejavim diagramom. 
\begin{center}
\includegraphics[scale=1.1]{4a}
\end{center}
Ali ima množica $S$ struktoro mreže glede na $R$? Odgovor natanko utemeljite.
\end{zad}













\bigskip
\begin{center}
Vse naloge so prenesene z naslednje spletne strani: \url{https://osebje.famnit.upr.si/~penjic/teaching.html}.

{\sc Na isti strani lahko bralec najde vse rešitve podanih nalog.}
\end{center}









\newpage
\section{Ekvipolenca množic}









\begin{zad}
Pokažite, da sta $\NN$ in $\ZZ$ dve ekvipolentni množici.
\end{zad}






\begin{zad}
Poiščite bijekcijo med intervalom $(0,1)$ in intervalom $(a,b)$.
\end{zad}







\begin{zad}[izpit, februar 2021.]
Najprej pokažite, da obstaja injektivna preslikava $f : \ZZ\ra \NN$. Nato dokažite, da je $|\ZZ| = |\NN|$.
\end{zad}



\begin{zad}[{2. kolokvij, januar 2022.}]
Naj bo $2\NN$ množica vseh sodih števil (tj. $2\NN=\{2n\mid n\in\NN\}$). 
Najprej pokažite, da obstaja injektivna preslikava $f : \ZZ\ra 2\NN$. Nato dokažite, da je $|\ZZ| = |2\NN|$.
\end{zad}




\begin{zad}[2. kolokvij, januar 2021.]
Pokažite, da sta intervala $[2,\infty)$ in $[-3,3)$ ekvipolentna.
\end{zad}




\begin{zad}[izpit, junij 2021.]
Pokažite, da sta intervala $(0, 2)$ in $[1, 3)$ ekvipolentna.
\end{zad}






\begin{zad}
Najprej pokažite, da obstaja injektivna preslikava $f : \ZZ\times\ZZ \ra \NN\times\NN$. Nato dokažite, da je $|\ZZ\times\ZZ| = |\NN\times\NN|$.
\end{zad}





\begin{zad}
Naj bo $\NN$ množica naravnih števil in $\ZZ$ množica celih števil.  Utemeljite, ali za množici $\ZZ\times\ZZ$ in $\NN$ velja trditev
$$
|\ZZ\times\ZZ|=|\NN|.
$$
\end{zad}



\bigskip
\begin{center}
Vse naloge so prenesene z naslednje spletne strani: \url{https://osebje.famnit.upr.si/~penjic/teaching.html}.

{\sc Na isti strani lahko bralec najde vse rešitve podanih nalog.}
\end{center}





\end{document}
